概率论 大数定律

第一节大数定律一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结一、问题的引入实例频率的稳定性随着试验次数的增加,事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有稳定性.单击图形播放/暂停ESC键退出二、基本定理定理一（契比雪夫定理的特殊情况）有数则对于任意正的算术平均个随机变量作前和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量,1),,2,1()(,)(,,,,,1221nkkkknXnXnkXDXEXXX契比雪夫.11lim}|{|lim1nkknnXnPXP定理一（契比雪夫定理的特殊情况）有数则对于任意正的算术平均个随机变量作前和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量,1),,2,1()(,)(,,,,,1221nkkkknXnXnkXDXEXXX.11lim}|{|lim1nkknnXnPXP表达式的意义.||,,1,,,}|{|成立的概率很大等式不充分大时当即对于任意正数时这个事件的概率趋于当明等式表是一个随机事件XnnX二、基本定理证明)(1111nkknkkXEnXnE,1nn)(11121nkknkkXDnXnD,1222nnn由契比雪夫不等式可得,11221nXnPnkk，在上式中令n并注意到概率不能大于1,则.111nkkXnP关于定理一的说明:,)()()(1,,,,21121knkknXEXEXEXnXXXn接近于数学期望均的算术平随机变量很大时当（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数..,1),,2,1()(,)(,,,,,1221PnkkkknXXnXkXDXEXXX即依概率收敛于则序列和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量aYaYYYaYPaYYYPnnnnn记为依概率收敛于则称序列有若对于任意正数数是一个常机变量序列是一个随设,,,,,1}|{|lim,,,,,2121定理一的另一种叙述:依概率收敛序列的性质:,),(),(,,连续在点又设函数设bayxgbYaXPnPn).,(),(bagYXgPnn则证明,),(),(连续在因为bayxg,0,0,时使得当byax,),(),(bagyxg,22bYaXnn}),(),({bagYXgnn于是}{bYaXnn}),(),({bagYXgPnn因此22bYPaXPnn,0n.1}),(),({limbagYXgPnnn故[证毕].0lim1lim,0,,pnnPpnnPApAnnAnAnA或有则对于任意正数率在每次试验中发生的概是事件的次数发生次独立重复试验中事件是设证明引入随机变量.,2,1,,1,,0kAkAkXk发生次试验中若在第不发生次试验中若在第伯努利定理二（伯努利大数定理）,21nAXXXn显然是相互独立的，因为,,,,21nXXX,)10(分布为参数的服从以且pXk.,2,1),1()(,)(kppXDpXEkk所以根据定理一有,1)(1lim21pXXXnPnn.1limpnnPAn即关于伯努利定理的说明:.,表达了频率的稳定性它以严格的数学形式率收敛于事件的概率依概生的频率伯努利定理表明事件发pnnA故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.),,2,1()(,,,,,,21kXEXXXkn且具有数学期望服从同一分布相互独立设随机变量.11lim,1nkknXnP有则对于任意正数关于辛钦定理的说明:(1)与定理一相比,不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料定理三（辛钦定理）三、典型例题?2111210,,,,,22221理问是否满足契比雪夫定具有如下分布律：相互独立设随机变量nnnPnanaXXXXnn解独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？)(nXE2222221)11(021nnannna,0例1说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn)(2nXE,21)(2222anna)(nXD22])([)(nnXEXE.2a说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件.有意正数证明对任且独立同分布设随机变量,,2,1,)(,0)(,,,,,221kXDXEXXXkkn解.11lim212nkknXnP是相互独立的，因为,,,,21nXXX也是相互独立的，所以,,,,22221nXXX,0)(kXE由22])([)()(kkkXEXDXE得,2由辛钦定理知有对于任意正数,.11lim212nkknXnP例2四、小结三个大数定理契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础,而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.