函数的零点

函数的零点函数的零点在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(－2，0)、(3，0)。一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)。零点的定义：判别式000y=ax2+bx+c的图象ax2+bx+c=0的根xyx1x20xy0x1xy0函数的零点两个零点x1,x2无零点有两个相等的实数根x1=x2无实数根两个不相等的实数根x1、x22ba-一个零点x=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点，以.0为例画图a()0()()fxyfxxyfx=??方程有实数根函数的图象与轴有交点函数的有零点所以：()0()()fxyfxxyfx=??方程的实数根函数的图象与轴交点的横坐标函数的零点二次函数零点的类型：（1）函数图象通过零点且穿过x轴，函数的值变号，这类零点叫变号零点（2）函数图象通过零点未穿过x轴，函数的值变号，这类零点叫不变号零点1、函数y=x2-5x+6的零点是（）A（3，0）,（2，0）；Bx=2；Cx=3；D2和3．即兴练习221111fxxxaaAaBaCaDa2、若函数没有零点，则实数的取值范围是、、、、DB什么条件下才能确定零点的存在呢？二次函数32)(2xxxf的图象，可以发现-15-4计算)2(f_______，)1(f_______,发现)2(f·)1(f_____0（＜或＞）．②在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？①在区间[-2,1]上有零点______。零点；无有上在区间)/___(],[)1(ba的图象观察下面函数)(xfy)(0__)()(或cfbf无）零点；（有上在区间/____,)2(cb)(0__)()(或bfaf无）零点；（有上在区间/__,)3(dc)(0___)()(或dfcf有有有a0bcdyxabxy0ab0yxab0yx内一定存在零点吗？在区间则函数义，而且满足上有定在区间若函数baxfybfafbaxfy,,0],[)(零点存在性定理：那么这个使得,0)(),,(cfbac的根。0)(xf在区间)(xfy如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，（a,b）内有零点，即存在连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？至少有一个，可以有多个。在区间)(xfy那么如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断abxy0（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？abbbbbbbbbbbbbbbbxy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)0的结论吗？反之不成立！(5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。解方程定理法例1.求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出它的图象。解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2)=(x－2)(x+1)(x－1).所以函数的零点为－1，1，2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、(－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x…－1.5－1－0.500.511.522.5…y…－4.3801.8821.130－0.6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示。例题2：在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有零点（）A、(－1,0）B、(0,1）C、(1,2）D、(2,3）C变式：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应值表：–26–12–511–7923f(x)7654321x那么该函数在区间[1，6]上有（）零点.A、只有3个B、至少有3个C、至多有3个D、无法确定B例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（）（A）（B）k3或k4（C）－1k1或3k4（D）－2k－1或3k432k解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，(1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足，即，(0)0(1)0(2)0fff2222028030kkkkkk212430kkkkk或或解得，所以－2k－1或3k4，选D。例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有零点，求实数a的取值范围。解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒有解，此时a∈R；（2）当m≠0时，∵f(x)=0，即mx2+x－m－a=0恒有解，∴△1=1+4m2+4am≥0恒成立，令g(m)=4m2+4am+1，∵g(m)≥0恒成立，∴△2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。综上所述知，当m=0时，a∈R；m≠0时，－1≤a≤1。例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于2，求实数a的取值范围。解：令f(x)=x2+(m－2)x+5－m，要使f(x)=0的两根都大于2，则应满足2(2)4(5)0(2)0222mmfm解得216042(2)502mmmm4452mmmm或所以即－5m≤－4.