《经济数学基础下》1

厦门大学网络教育2011-2012学年第一学期《经济数学基础下》复习题1一、单项选择题（每小题3分，共24分）1．下列函数是函数2cosxex的原函数的为（）A．)sin(cosxxex；B．)sin(cosxxex；Ｃ．xexsin；Ｄ．xexsin。2．下列关系式正确的是（）A．)(])([xfdxxfd；B．)()(xfdxxf；C．)()(xfdxxfdxd；D．Cxfdxxf)(])([。3．12dxx（）A．Cx21；B．Cx21；C．212xC；D．Cx212。4．()xfxdx（）A．Cxf)(；B．Cxxf)(；C．Cxfxfx)()(；D．Cxxfxf)()(。5．设函数)(xf在[ba,]上连续，则曲线)(xfy与直线0,,ybxax所围成的平面图形的面积等于（）A．badxxf)(；B．|()|bafxdx；C．|()|bafxdx；D)())((baabf。6．设)(xf连续，10)(2)(dttfxxf，则)(xf（）A．x；B．1x；C．2x；D．1x。7．微分方程02yy的通解是（）A．xCy2sin；B．xey24；C．xCey2；D．xCeY。8．具有特解xey31，xxey322的二阶常系数齐次线性方程是（）A．09yy；B．096yyy；C．09yy；D．096yyy。二、填空题（每小题3分，共18分）9．设Cedxxfx313)(，则)(xf。10．设)(xf为连续函数且满足310()xftdtx，则)7(f。11．09912(21)xdx=。12．已知(0)2,f(2)3f，(2)4f，则20()xfxdx。13．由曲线yx,0y，1x所围成的图形绕直线1x旋转而成的旋转体，其体积（定积分表达式）为V。14．微分方程xyyxy，满足21xy的特解为。三、计算题（每小题8分，共40分）15．求不定积分3sinxdx．16．求定积分1sin(ln)exdx。17．求xtxtxdttedte0220022lim。18．求积分131dxx．19．求微分方程042dydyxydx，满足24xy的特解。四、应用题（9分）20.求由曲线yx,2yx及x轴所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积。五、证明题（9分）21.设函数)(xf在]b,[a上连续，且0)(xf。又xbxadttfdttfxF)(1)()(。证明：（1）2)('xF；（2）0)(xF在]b,[a内有一个且仅有一个实根。一、单项选择题（每小题3分，共24分）1．A。设()fx定义在(,)ab上，如果存在函数()()Fxfx，则称()Fx是()fx的原函数，显然（Ａ）[(cossin)](cossin)cossin2cosxxxxexxexxexxex，所以2cosxex的原函数为)sin(cosxxex，选A。2．C。A．[()]()dfxdxfxdx，故A错误；B．()()fxdxfxc，B错误；D．[()]()fxdxfx，D错误。故选C。3．B。由于1211221212xCxx，所以12dxxCx21。则选B。4．C。()()()()()()xfxdxxdfxxfxfxdxxfxfxc，选C。5．C。有定积分的几何意义知：曲线)(xfy与直线0,,ybxax所围成的平面图形的面积为dxxfba)(，见教材190页，选C。6．B。设()fxxc，则121002()(2)|12xcxtcdtxtctxc，于是1c，所以()1fxx。选B。7．C。特征方程为20，特征根为2，所以通解为2xyCe，选C。8．B。由特解知方程的特征根为3（二重根），所以具有特解xey31，xxey322的二阶常系数齐次线性方程是096yyy，选B。二、填空题（每小题3分，共18分）9．1113331()(3)33xxxfxeCee。10．在式子两边同时对x求导有，321(1)3fxx，又3721，所以211(7)3212f。11．0099991000111222111(21)(21)(21)(21)|2200200xdxxdxx。12．222222000000()()()|()()|()|xfxdxxdfxxfxfxdxxfxfx，由(0)2f，(2)3f，(2)4f知20()2(2)327xfxdxf。13．绕y轴旋转体体积公式为：2()dcVydy，其中2()y为截面面积，由题意知旋转体体积为1220(1)Vydy。14．令yux，则yux，于是dyxduudx，代入xyyxy有：1duxuudxu。从而dxudux，解得21ln||2uxc，则222(ln||)yxxc，又21xy，所以222(ln2)yxx。三、计算题（每小题8分，共40分）15．解：32sinsincosxdxxdx=2(1cos)cosxdx=2coscoscosdxxdx=31coscos3xxc。16.解：1sin(ln)dexx111sin(ln)cos(ln)deexxxxxx1sin1cos(ln)deexx111sin1cos(ln)sin(ln)deeexxxxxx1sin1(cos11)sin(ln)deeexx则11sin(ln)d(sin1cos11)2exxee。17．解：xtxtxdttedte0220022lim2220202(d)limxtxxxetexe2200d2limxtxxetxe222202lim22xxxxeexe。18．解：1122333311133dlimdlimlim(1)22bbbbbxxxxxb，极限不存在，则积分发散。19．解：原方程可化为24dydxyx，有1422dydxdxyxx，积分得1ln||(ln2ln2)4yxxC，则12ln||ln||42xyCx，即422xyCx。当24xy时，163C，所以方程满足条件的特解为416232xyx。四、应用题（9分）20.解：12221005111[(2)]d(4)236Vyyyyyy。五、证明题（9分）21.证明：（1）1()()()Fxfxfx，因0)(xf，故11()()2()2()()Fxfxfxfxfx；（2）()Fx在]b,[a上连续，111()()0()()()aaababbaFaftdtdtdtdtftftft，1()()()0()babaaaFbftdtdtftdtft。由零点存在定理知：0)(xF在]b,[a内有一个实根；又由（1）2)('xF知()Fx在]b,[a单调递增，因此0)(xF在]b,[a内有一个且仅有一个实根。