勾股定理与全等三角形

1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．3、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长．4、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．1、证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF=FG又∵D为斜边BC中点∴BD=DC又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE=CG，∠B=∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2∴EF2=FG2=BE2+CF2．证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．又DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．2、证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2．3、解答：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，∠CAD＝∠CBEAD＝BD∠ADC＝∠BDF＝90°，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2，在Rt△CDF中，CF=DF2+CD2=22+22=2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+24、解答：（1）证明：延长DM交BC于N，∵∠EDA=∠ABC=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MCB，在△EMD和△CMN中∠DEM＝∠NCMEM＝CM∠EMD＝∠NMC，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=DA，MN=MD，∵BA=BC，∴BD=BN，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，∠DBM=12∠DBN=45°=∠BDM，∴△BMD为等腰直角三角形．（2）解：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，∴∠E=∠MCN=45°，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN（ASA），∴CN=DE=DA，MN=MD，在△DBA和△NBC中DA＝CN∠DAB＝∠BCN，BA＝BC∴△DBA≌△NBC，∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，∴∠DBN=∠ABC=90°，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，∠DBM=12∠DBN=45°=∠BDM，∴△BMD为等腰直角三角形．