§5 初等矩阵

§5初等矩阵一、初等矩阵的概念和简单性质二、矩阵的等价一、初等矩阵的概念和简单性质定义5.1由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．1.将E的第I行与第j行交换得到初等矩阵11011(,)11011ijiPijj列列行行称为第一类初等矩阵（又称换法矩阵）.2、用非零数c乘E的第i行，得到初等矩阵1(())1picic称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）.注倍法矩阵的特点是：；其它元素与单位矩阵相同.(,)iic元＝3、把E的第j行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵11(,).11kipijkj行（）行称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵）.注消法矩阵的特点是：；其它元素与单位矩阵相同.(,)ijk元＝同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作留给学生.我们指出，对单位矩阵作一次列初等变换所到的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中.因此换法、倍法、消法初等矩阵是全部初等矩阵.由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵E成可逆矩阵，因此初等矩阵是可逆矩阵.直接验证可得：命题5.1初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩阵，且1111(,)(,),(())(()),(,())(,()).pijpijpicpipijkpijkc这里0.c容易验证命题5.2初等矩阵的转置还是初等矩阵，其转置矩阵是同类型的初等矩阵，且(,)(,),(())(()),(,())(,()).pijpijpicpicpijkpjik这里0.c矩阵和乘法和初等变换的关系是定理5.1设A是矩阵，对A施行一次行初等变换，就相当于A左乘s级初等矩阵，对A施行一次列初等变换，就相当于A右乘n级初等矩阵.具体地说：sn1）A相当于把A的i,j两行互换;A相当于把A的i,j两列互换.2）相当于把A的第i行乘以非零数c；A相当于把A的第I列乘以非零数c．3）A相当于A的第j行乘以k加到第i行上；A相当于A的第i列乘以k加到第j列上.(,)pij(,)pij(())picA(())pic(,())pijk(,())pijk1111011(,)11011ijjiSsAAAAPijAAAAA证明只证行初等变换的情况，列初等变换的情况类似可证.将A表示成分块于是12SAAAA，这相当于把A的两行交换.2）,ij111(()),1iissAAPicAAcAcAA这相当于把A的第i行乘以c.3)1111(,()),11iijjjssAAAAkAkPijkAAAAA这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主”.二、矩阵的等价定义5.2若矩阵A经过一系列初等变换得到可以化为B，则称A与B等价的（也称A与B相抵）.注：1）矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性；2）等价矩阵的秩相等．由定理5.1立得命题5.2设A，B是同型矩阵，则A，B等价的充要条件是：存在初等矩阵，使.与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩阵，把它作为A的代表呢？1212,,,,,,,stPPPQQQ1212stBPPPAQQQ定理5.2任意一个矩阵A都与一形如的矩阵等价，且主对角线上１的个数等于A的秩．称这个矩阵为A的标准形．sn10010000000000000rEr110ai证明如果A＝0，结论显然成立．若，存在，将A的第两行交换，然后将j,1两列交换，所得矩阵的（1，1）元非零，不妨设A中.把A的第一行乘加到第行上，然后第一列乘加到第j列上，A化为0A0ija,1i1111(1,2,)iaais1111(1,2,,)jaajn，矩阵1100A1(1)(1)Asn是对重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形.由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中1的个数等于A的秩.(定理5.2证明完毕）1An级可逆矩阵的标准形单位矩阵,由命题6.2存在初等矩阵使，因此我们有定理5.3n级方阵A可逆A能表成初等矩阵的乘积1212,,,,,,,stPPPQQQ12121212ststAPPPEQQQPPPQQQ推论1：两个矩阵A、B等价存在s级可逆矩阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ．推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵Esn若A可逆，A能表成初等矩阵的乘积,设A=，为初等矩阵.由初等矩阵逆，则，12mQQQiQ11121mQQQAE记，则是初等矩阵，且1(1,2,,)iiQPimiP12121,mmPPPAEPPPEA且将上面两式合起来，得上式表明用一系列的行初等变换把A化成单位矩阵，用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到．这样我们得到了一个用行初等变换求逆矩阵的方法.121()()mPPPAEEA1A求012114,210A1A例1、设解对分块矩阵（AE）作行初等变换012100114010()114010012100210001210001114010102110012100012100038021002321AE10021110021101042101042100232131001122故.122142131122A探究学习设AX=B，A可逆，则X=B．可以用下面的方法求X若XA=B，A可逆，则X=B．可以用下面的方法求X.1A1ABEAB行　　1A1EABBA初等列变换解100323201023.230011313ABX例2．设AX=B，其中求X．12325221,3134343AB，例1设XA=B，其中求X．021123213,.231334AB解100010211.001474211474AXB