D8_3 多变量函数的微分和偏导数

第八章第三节机动目录上页下页返回结束二、多变量函数的偏导数三、高阶偏导数多变量函数的微分和偏导数第八章一、多变量函数的微分一、多变量函数的微分定义8.3.1设在的邻域中有定义，记，如果存在常数A,B使得当时，有则称在M0处可微，并称为在M0的微分，记成是的线性主部。定理8.3.1如果f(x,y)在M0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在M0(x0,y0)处连续。定义8.3.1.),(yxfz在点存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00x则称此极限为函数极限设函数)(0xf)()(00xfxxfx0limxx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxf机动目录上页下页返回结束xyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx注意:二、多变量函数的偏导数同样可定义对y的偏导数lim0y),(00yxfy若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,),(,),(2yxfyxfy),(0xf),(0xfy记为yy00y机动目录上页下页返回结束或y偏导数存在,,,,yzyfyz例1.求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz机动目录上页下页返回结束例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1证:yzxxzyxln1例3.求的偏导数.解:xr求证z22222zyxx2rxrzzr机动目录上页下页返回结束偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,若在(x,y)处可微，则偏导数也叫偏微商，这种叫法源于其本质上是一个一元函数微商，但对于二元函数而言不具有商的性质，只是一种记号。二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线yTM0在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线yxz0xyToxT0y0M机动目录上页下页返回结束对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz00注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!二元函数可微则偏导数存在。但偏导数存在，函数不一定可微。定理8.3.2如果z=f(x,y)的两个偏导数在M0(x0,y0)处都是连续的，则f(x,y)在M0(x0,y0)处可微。例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.xxx?),,(zyxfy?),,(zyxfzx机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)可微的定义为例5.求xyzue在（1，2，3）处的偏导数。三、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动目录上页下页返回结束数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶)(yyxznn1机动目录上页下页返回结束偏导数为yxe22例6.求函数yxez2.23xyz解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz222yz注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022yx0,222222yxyxyxyx0,022yx机动目录上页下页返回结束例7.证明函数满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程31rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动目录上页下页返回结束,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明目录上页下页返回结束证:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxF),(),()(00yxfyxxfy)()(00xxx令)()(00yyy定理.8.3.3.xyxxfyyxxfxx]),(),([01001000()()yyy)()(00xxx同样yxyyxxfxy),(4030)1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx,,,,0x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx，连续,得0y例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等把区域D中有n阶连续偏导数的函数全体记作把区间I中有n阶连续导数的一元函数全体记作作业第三节目录上页下页返回结束P66－681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。第四节一元复合函数求导法则微分法则机动目录上页下页返回结束复合函数的微分法第八章本节内容:一、复合函数求导的链式法则二*、Jacobi矩阵三、方向导数和梯度四、全微分的不变性五、例题xz1211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvz一、复合函数求导的链式法则(,)vxy定理8.4.1.若函数可微，和(,)zfuv(,)uxy有一阶偏导数，则z对x和y有偏导数，并有zvuyxyx写成矩阵形式：一般地，设可微，而12(,,,)nzfuuu12(,,,)1,2,,.iimuxxxin，例1.设,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解:xzveusinyzveusinxvvzveucosyvvzveucos11zvuyxyx机动目录上页下页返回结束例2.,sin,),,(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yxcos2机动目录上页下页返回结束例3.证明函数u=1/r满足方程其中。Laplace方程，调和函数若函数),(vufz处偏导连续,在点t可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证:设t取增量△t,vvzuuzz)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,,0,0vu则有(全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt))()((22vu)(o(△t＜0时,根式前加“–”号)tvtvtutudd,dd机动目录上页下页返回结束tvvztuuztzdddddd若定理中说明:例如:),(vufztvtu,易知:但复合函数),(ttfz21ddtztvvztuuzdddd01010偏导数连续减弱为偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.中间变量多于两个的情形.例如,,),,(wvufztzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd机动目录上页下页返回结束)(,)(,)(twtvtu又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22ffzxyx注意:这里xzxfxz表示固定y对x求导,xf表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导xf与不同,v机动目录上页下页返回结束例4.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtz求全导数,teu,costv解:tcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号,,2121vuffuff例5.设f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff机动目录上页下页返回结束