勾股定理难题(含答案)

1.题目：如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM=45°答案：如图，过点M作ME∥＝（平行等于）AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形得NE=AM,ME⊥BC∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4∵∠1+∠3=90°∴∠2+∠4=90°且BE=NE∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°∵AM∥NE∴∠BPM=∠BNE=45°题目：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证：BD²=AB²+BC²答案：如图，以BC为边向外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，连接AE∵∠ADC=60°且AD=CD∴△ACD为等边三角形即DC=CA=AD那么∠BCD=∠EBC=∠CEB=60°，∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°则AE²=AB²+BE²=AB²+BC²，易证△BDC≌△EAC，得BD=AE，故BD²=AB²+BC²