利用直线倾斜角求椭圆焦半径 Word版含解析(数理化网)

今天我们研究利用直线倾斜角求椭圆焦半径.根据椭圆的第二定义，可以推导出椭圆焦半径含倾斜角的公式，而且当倾斜角为直角时，焦点弦最短。先看例题：例：已知椭圆C:22221xyab(a＞b＞0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.已知过点F1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点,求证:242||2cosAB;解：根据题目条件，可知22222,4,cacabc∴可以解得：228,4.ab∴椭圆C的方程为22184xy.离心率22e又F1(－2,0)是椭圆C的左焦点，设l为椭圆的左准线,则l:x=－4.作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,l与x轴交于点H(如图).∵点A在椭圆上,∴112||||2AFAA112(||||cos)2FHAF122||cos2AF.∴12||2cosAF.同理：12||2cosBF.∴|AB|=|AF1|+|BF1|222cos2cos2422cos.另解：当2时,记k=tanθ.则AB:y=k(x+2),将其代入方程x2+2y2=8得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2－1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是此二次方程的两个根.2122812kxxk,21228(1)12kxxk.221212||()()ABxxyy2212(1)()kxx221212(1)[()4]kxxxx222222832(1)(1)[()]1212kkkkk.2242(1)12kk.①∵k2=tan2θ,代入①式得242||2cosAB.②当2时,||22AB仍满足②式.∴242||2cosAB.注意：另解思考上更直接，但明显运算量较大。规律整理：对于焦点在x轴上的椭圆：22222211(0),xyabababFpccc，左焦点焦准距1||1cosepBFe1||1cosepAFe1||1cosepBFe2222221(0)xyabababFpccc，右焦点，焦准距||1cosepBFe||1cosepAFe再看一个例题，加深印象例：已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若3AFFB，则k=________解：根据前面的公式，分别表示出||1cosepAFe，||1cosepBFe根据题意有：31cos1cosepepee所以3cos3进而tan22k总结：1.椭圆的焦点在x轴上，利用直线倾斜角可以直接写出椭圆焦半径。2.本文的公式都是以倾斜角为锐角的情形推导的，若倾斜角为直角或者钝角仍然成立。3.当倾斜角为直角时，焦点弦最短即为椭圆的通径。练习：1.已知椭圆C:22184xy，过点F1(－2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和D,E,求|AB|＋|DE|的最小值.2.设椭圆C:22221(0)xyabab的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°,2AFFB.求椭圆C的离心率;答案1.解：设直线AB倾斜角为θ,由于DE⊥AB,242||2cosAB,242||2sinDE.224242||||2cos2sinABDE22212212212sincos2sin24.当4或34时,|AB|+|DE|取得最小值1623.2.解：||1cosepAFe||1cosepBFe21cos1cosepepee1cos223e另解：设1122(,),(,)AxyBxy,由题意知y10,y20.直线l的方程为3()yxc,其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFB,所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab得离心率23cea.另解：与直接用焦半径公式比较，计算繁琐。