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复旦大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷课程名称：数学分析III课程代码：318.157.3.01开课院系：数学科学学院学生姓名：学号：专业：题目12345678总分得分填充题1．（每空格6分，共30分）（1）3333xyzxyz++=，则dz=。（2）曲线22206xyz2xyza++=⎧⎨++=⎩在(,,2)aaa−处的切线方程为。（3）22rxyz=++2，则divgradr=。（4）2sin()xxxtIxdtt=∫，则dIdx=。（5）44200xx4xedxxedx+∞+∞−−⋅∫∫=。解答题（每题10分，共70分）2．通过变量代换yxzwxvyxu−===,,，变换方程xyzyzy2222=∂∂+∂∂。13．设四边形的边长分别为，利用Lagrange乘数法求出当四边形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积）。a,b,c,d4．计算闭曲面5222222()2xyzzxy++=−−所围体积。25．在平面上单位质点受力PF作用，力F的方向与OPuuur垂直（逆时针转90度为OPuuurF的方向），大小与OPuuur成反比，比例系数为，求质点从点沿位于第一象限的曲线移动到点，力kP(0,1)A(1,0)BF所作的功。6．计算积分，其中是曲面介于的部分，积分沿曲面下侧。dxdyzdzdxydydzxS333++∫∫S22yxz+=10≤≤z37．积分∫∞++022ααxdx关于α在下述范围是否一致收敛?证明你的断言。（1）+∞≤≤Aαα00;（2）+∞α0。8．将周期为π2的函数，2)(xxf=[]ππ,−∈x展开成Fourier级数，并计算∑∞=+−121)1(nnn的值。4