计量经济学8-非线性回归函数

1Chapter8Chapter8NonlinearRegressionFunctions非线性回归函数2测试成绩与学生/教师比率之间线性关系较明显3测试成绩与地区收入水平之间非线性关系明显•graphtwowaylfittestscravginc||scattertestscravginc||,ytitle(testscore)xtitle(averageincome)600650700750testscore0204060averageincomeFittedvaluestestscr4非线性总体回归模型Yi=f(X1i,X2i,…,Xki)+ui,i=1,…,n假设：1.E(ui|X1i,X2i,…,Xki)=0，给定X1i,X2i,…,Xki时，ui条件分布均值为零。2.(X1i,…,Xki,Yi)是i.i.d.即X1i,…,Xki,Yi是独立同分布。3.不太可能出现大的异常值。4.无完全共线性。.5非线性设定形式中X变化对Y的效应6一元非线性函数1.多项式形式总体回归函数用二次、立方以及高阶多项式进行近似表示。2.对数形式•Y和（或）X转换为取对数的形式。•对数变换将变量的变化化为百分率，用百分率可以容易地表示很多关系。271.X的多项式形式X的r阶多项式回归模型一般形式可表示为Yi=b0+b1Xi+b22iX+…+brriX+ui•回归变量是X的不同次方。•多元回归中的估计、推断方法等可以用于此处。•多项式回归中的系数没有简单的解释。8例:地区收入与测试成绩之间的多项式回归Incomei表示第i个地区的平均收入，单位为千美元每人。二阶多项式回归模型为：TestScorei=b0+b1Incomei+b2(Incomei)2+ui三阶多项式回归模型为：TestScorei=b0+b1Incomei+b2(Incomei)2+b3(Incomei)3+ui9例：用STATA计算二次多项式回归generateavginc2=avginc*avginc;regtestscravgincavginc2,r;RegressionwithrobuststandarderrorsNumberofobs=420F(2,417)=428.52ProbF=0.0000R-squared=0.5562RootMSE=12.724------------------------------------------------------------------------------|Robusttestscr|Coef.Std.Err.tP|t|[95%Conf.Interval]-------------+----------------------------------------------------------------avginc|3.850995.268094114.360.0003.324014.377979avginc2|-.0423085.0047803-8.850.000-.051705-.0329119_cons|607.30172.901754209.290.000601.5978613.0056------------------------------------------------------------------------------avginc2的t统计量为-8.85，8.851.96，在5%显著水平下，avginc2的系数异于零。这说明什么问题？表明，如果使用avginc的一次形式建立模型是不正确的。创建一个名为avginc2的二次变量10•graphtwowayqfittestscravginc||scattertestscravginc||lfittestscravginc||,ytitle(testscr)xtitle(avginc)600650700750testscr0204060avgincFittedvaluestestscrFittedvalues线性回归函数对应直线X的二次多项式回归函数对应曲线(a)回归函数的曲线·TestScore=607.3+3.85Incomei–0.0423(Incomei)2(2.9)(0.27)(0.0048)11解释回归方程(b)计算不同X值对应的“效应”·TestScore=607.3+3.85Incomei–0.0423(Incomei)2(2.9)(0.27)(0.0048)假设收入由人均5000美元变为人均6000美元，测试成绩预计变化量为Δ·TestScore=607.3+3.856–0.042362–(607.3+3.855–0.042352)=3.412·TestScore=607.3+3.85Incomei–0.0423(Incomei)2X取值不同，对应的“效应”不同ChangeinIncome($1000percapita)Δ·TestScorefrom5to63.4from25to261.7from45to460.0思考：能否计算人均收入从65千美元变化到66千美元对测试成绩的影响？313用STATA计算三次多项式回归•genavginc2=avginc*avginc•.genavginc3=avginc2*avginc•.regtestscravgincavginc2avginc3,r•LinearregressionNumberofobs=420•F(3,416)=270.18•ProbF=0.0000•R-squared=0.5584•RootMSE=12.707•------------------------------------------------------------------------------•|Robust•testscr|Coef.Std.Err.tP|t|[95%Conf.Interval]•-------------+----------------------------------------------------------------•avginc|5.018677.70735057.100.0003.628256.409104•avginc2|-.0958052.0289537-3.310.001-.1527191-.0388913•avginc3|.0006855.00034711.980.0493.27e-06.0013677•_cons|600.0795.102062117.610.000590.0499610.108•------------------------------------------------------------------------------•.disAdjustedRsquared=_result(8)•AdjustedRsquared=.555228·232600.15.020.0960.00690.555(5.1)(0.71)(0.00035)TestScoreIncomeIncomeIncomeR=+-+=14零假设为，测试成绩与地区平均收入之间为线性关系，备择假设为测试成绩是地区平均收入的二次或者三次多项式函数。该问题可以表示为：H0:Income2=0和Income3=0H1:Income2=0和Income3at中至少有一个不为零testavginc2avginc3;Executethetestcommandafterrunningtheregression(1)avginc2=0.0(2)avginc3=0.0F(2,416)=37.69ProbF=0.0000由检验结果可知，拒绝总体回归为线性形式的假设。152.对数形式•ln(X)表示X的自然对数•对数变换将变量的变化表示为百分率变化。ln(x+Δx)–ln(x)=ln1xxΔ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠xxΔ(ln()1dxdxx=)例如：ln(1.01)=.009950.01;ln(1.10)=.09530.1016三种对数回归模型情形总体回归函数I.线性-对数Yi=b0+b1ln(Xi)+uiII.对数-线性ln(Yi)=b0+b1Xi+uiIII.对数-对数ln(Yi)=b0+b1ln(Xi)+ui17I.线性——对数回归模型Y=b0+b1ln(X)(b)设X增加ΔX，则Y+ΔY=b0+b1ln(X+ΔX)(a)(a)–(b):ΔY=b1[ln(X+ΔX)–ln(X)]ln(X+ΔX)–ln(X)XXΔ,因此ΔYb1XXΔ或b1/YXXΔΔ(smallΔX)18Yi=b0+b1ln(Xi)+ui对于一个很小的ΔX,1100100YXXbΔ×≅Δ×11100100XYXbΔΔ=×××其中100XXΔ表示X变化的百分比数，X增加1%(即X变为原来的1.01倍)会使Y产生0.01b1的变化。X增加1%⇒ln(X)增加0.01⇒.Y增加0.01b11b系数的经济含义419举例：测试成绩对收入取对数回归•genlogincome=ln(avginc)•.regtestscrlogincome,r•LinearregressionNumberofobs=420•F(1,418)=679.70•ProbF=0.0000•R-squared=0.5625•RootMSE=12.618•------------------------------------------------------------------------------•|Robust•testscr|Coef.Std.Err.tP|t|[95%Conf.Interval]•-------------+----------------------------------------------------------------•logincome|36.419681.39694326.070.00033.6737839.16559•_cons|557.83233.83994145.270.000550.2843565.3803•------------------------------------------------------------------------------•.disAdjustedRsquared=_result(8)•AdjustedRsquared=.56146052·()2557.836.42ln?(3.84)(1.40)0.561TestScoreIncomeR=+×=20举例：测试成绩对收入取对数的回归问题：假设地区人均收入增加1%，预计会使测试成绩变化多少？地区平均收入增加1%，预计平均测试成绩增加0.3642分。·()2557.836.42ln?(3.84)(1.40)0.561TestScoreIncomeR=+×=21线性——对数回归与三次多项式回归比较线性对数回归函数对应直线X的三次多项式回归函数对应曲线22II.对数——线性总体回归模型ln(Y)=b0+b1X(b)假设改变X:ln(Y+ΔY)=b0+b1(X+ΔX)(a)(a)–(b)可得:ln(Y+ΔY)–ln(Y)=b1ΔX于是YYΔb1ΔX或者可以写成b1/YYXΔΔ(smallΔX)23对数——线性回归模型为：ln(Yi)=b0+b1Xi+ui对于很小的ΔX,有b1/YYXΔΔ•100YYΔ为Y变化的百分数，因此，X变化一个单位（DX=1），对应的Y变化为100b1%。•X增加一个单位⇒ln(Y)增加b1⇒Y增加100b1%24•genlogtestscr=ln(testscr)•reglogtestscravginc,r•LinearregressionNumberofobs=420•F(1,418)=263.86•ProbF=0.0000•R-squared=0.4982•RootMSE=.02065•------------------