6-鞅理论及其应用

第六章鞅理论及其应用第一节鞅的简单介绍•鞅这个术语早在20世纪30年代首先由Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934)。但是真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他于1953年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。•“鞅”一词来源于法文martingale的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(doublestrategy)。•简单的说，鞅是“公平”赌博(fairgame)的数学模型。•假设一个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n+1次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用Xn表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的。11)|(nnnXXXE•在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把X设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而EXn就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。•一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅；•而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅(supermartingale)。•实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。鞅定义•1、存在一概率空间{Ω,F,P}，要求σ-代数F是P-完备的，即对于任何A∈F且P(A)=0，对一切N⊂A都有N∈F成立。•2、给定一个滤波（filter）。•3、如果对于任何n≥0，Sn的值被包含在Fn中，就称Sn是Fn可测的，或者使用梅耶(Meyer)的术语，称Sn为Fn适应的(Fn–adapted)。•4、存在条件数学期望Ep(SN)=Ep(SN|Fn)，nN•这意味着在n时刻对N时刻的价格预期是基于在该时刻已确知的特定信息集合Fn的。•注意在这里我们在期望算子上加的P代表这种期望是基于特定概率测度（或者分布）的，在不混淆的情况下它也可以被省略。•假定(Sn)n∈Z+是滤波空间{Ω,F,P,F}上的一个Fn-适应过程，如果：1)无条件的数学期望是有限的，E(Sn)∞,n∈Z2)对下一时刻的预测就是现在观察到的数据，即：En(Sn+1|Fn)=Sn,n∈Z+•则称(Sn)n∈Z+为（F下的）离散时间鞅或者简称离散鞅。•模拟股票价格路径的二项树模型。现在假定n时刻的股票价格为Sn，而在n+1时刻，股票价格将以：p=(1−d)/(u−d)的概率上涨到uSn；或者以1−p的概率下降到dSn则下一时刻股票价格的数学期望？是鞅？•遵循这种二项过程的股票价格运动是一个鞅nnnSSSE)|(1连续时间•假定(St)t∈[0,∞)是滤波空间{Ω,F,P,F}上的一个适应过程，如果：•1)E(St)∞,t∈[0,∞)；•2)Et(ST|Ft)=St,∀Tt。•则称St为连续时间鞅或者简称鞅。•可证明维纳过程（布朗运动）Wt是一个连续鞅。•也是鞅。•反过来说也是正确的，即如果是一个连续时间鞅，而Wt也是连续时间鞅，则Wt必然是布朗运动。（参考Elliot&Kopp1999）tWt2tWt2•随机过程也是鞅，其中a是任意实数，Wt为维纳过程。王尔德鞅（Wald'smartingale）taWte221过程独立性）（条件期望性质WienerFWWaEtaXFtaWWaEXFtaWWaXEFttaaWEFXEttttttttttttttttttttt|)](exp[)21exp()(|]21)(exp[|]21)(exp[|)](21exp[|2222•项服从0均值和方差的正态概率分布。服从对数正态分布，期望是•那么•即证明是鞅。)(tttWWata2)](exp[tttWWa)2/exp(2tatttttXtataXFXE)21exp()21exp(|22taWte221•如果一个鞅具有有限的二阶矩，即•称之为平方可积鞅。)(2nME平方可积鞅金融资产价格运动和鞅•一般说来，风险资产的价格变化，在给定信息集下，并非完全不可预测的。比方说折扣发行的零息票债券(zerocouponbond)的价格B会随着到期日的临近，越来越接近其面值，即越来越大，显然这是一个下鞅。类似的，股票通常会有一个正的预期收益，因而也不具有鞅性。例如期权有时间价值，并且会随着到期日的临近不断地衰减，这是上鞅的一个特征。•鞅的定义是基于特定概率分布和信息集合的，通过对信息集和概率测度的适当处理，就可以把上(下)鞅转化为鞅。•比方说我们能不能找到某一种概率分布Q，它把资产的未来价格用无风险收益率贴现后的值，转变成一个鞅，即：()(|)QrNnnNnnEeSFSnN停时(stoppingtime)•t是时间，Ft代表积累到t时刻的信息。停时可以理解为某一随机事件第一次发生的时刻。不妨假想我们对某些特定现象的发生感兴趣：例如某个“黑色星期五”的出现，我们对这些特定现象第一次出现的时刻T(ω)给予特别的注视。很明显事件{ω,T(ω)≤t}的发生，当且仅当这一现象出现在t时刻上或者t时刻之前。应当是积累到那个时刻的信息集的一部分。•例如一个赌徒决定在他赌赢100次后就收手，那么他停止赌博的时刻就是一个随机变量T=n，就是说当他赌到n次时，他才赢足100次，Fn是他赌到第n次的所能掌握的全部信息。故T是否等于n是依赖他赌到第n次才能知道的。从这里体会它似乎有点“你到那就知道了”那种无奈的意味。•停时是一个定义在滤波空间{Ω,F,P,F}上的随机变量T:Ω→[0,∞)∪{∞}对于任何t∈R，它满足{}{,()}tTtTtF•假设Wt代表一个赌徒在t时刻的财富，他连续的参加“公平”的赌博，现在的问题是：•他能不能通过精心的选择停止赌博的次数来最大化他的个人财富呢？答案是否定的。这就是著名的多布有界停时定理(Doob’sboundedstoppingtimetheorem)•定理：如果(Mn)n∈Z+是在随机基{,F,P,F}Ω上的一个Fn-适应的离散鞅；T∞是一个有界停时，则有E{MT|F0}=MT，以及E(MT)=E(M0)多布分解定理•在微观金融学中有一系列的重要定理表明当市场上不存在套利机会时，所有资产价格都是均衡价格测度(equilibriumpricemeasure)下的鞅。•上(下)鞅中有一种向上或者向下趋势，只要从它们之中分离出这种趋势，就可以得到一个纯粹的鞅。•Doob分解定理：令(Xn)n∈Z+为一个Fn-适应的下鞅，则它可以唯一的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：Xn=Mn+An,∀n∈Z•多布分解(Doobdecomposition)定理(又称为下鞅分解定理)就显示了下鞅、鞅和可料增量过程相互之间的关系。•如果是一个Ft-适应的右连续的下鞅，•ESt∞,∀t，则对于任何0≤t≤∞，St都可以分解为下列形式：St=Mt+At•Mt是右连续鞅，At是一个Ft-可料的增量过程。Doob-Meyer定理(0,)()ttS•考虑一个欧式看涨期权，到期日收益函数为，•在t时刻(tT)，该期权价格ct是待定的，但可根据t时刻的信息预测它在到期日的期望价值：•假定r是无风险利率，那么是否就是它在t时刻的“公平”市场价值，就取决于在滤波Ft和测度P下是不是一个鞅。)0,(KSMaxcTTtTPttTPtFKSMaxEFcE|)0,(|例tTPttTrtFKSMaxEec|)0,()(trtce•如果假设投资者是风险厌恶的，则对于任何一种风险资产，一般要求：•也就是说是一个鞅。但根据Doob-Meyer定理可从中减去一个可以预测的趋势，即抵消股票价格运动中向上的单边趋势，而使得剩下的部分获得鞅性，即：•其中Mt是Ft下的鞅，At则是一个Ft可测的递增的随机变量。ttTtTrPtSFSeE|)(trtSetrtSettrttASeM