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课后训练二十二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B-AB1C的体积为()A.B.C.D.【解析】选D.==S△ABC×h=××3=.2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.B.C.D.【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1，S正方形ABCD=1×1=1，所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=×AA1×S正方形ABCD=×1×1=.3.已知长方体两两相邻三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为()A.xyzB.C.D.【解析】选B.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，不妨设ab=x，bc=y，ca=z，所以a2b2c2=xyz，所以V=abc=.4.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积()A.与点E，F的位置有关B.与点Q的位置有关C.与点E，F，Q的位置都有关D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值【解析】选D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知三棱锥S-ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________.【解析】如图，在三棱锥S-ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO=×4×=.在Rt△SAO中，SO==，所以V=×××42=.答案：6.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2)，V=6×6×4-×12×3=132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案：118.8三、解答题(共26分)7.(12分)已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE=2，∠OPE=30°，所以PE=2OE=4.因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32，S表面=S侧+S底=32+16=48.8.(14分)在四面体ABCD中三组对棱分别相等，AB=CD=，BC=AD=2，BD=AC=5，求四面体ABCD的体积.【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则所以因为VD-ABE=DE·S△ABE=V长方体，同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V长方体，所以V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.而V长方体=2×3×4=24，所以V四面体ABCD=8.(15分钟·30分)1.(4分)一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A.B.C.2D.【解析】选D.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S梯形EFCB×3=S△ABC×3=S△ABC.设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h=S△ABC，解得h=.2.(4分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.1∶1B.1∶C.1∶D.1∶2【解析】选C.如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥=4×(a)2×=2a2，S正方体=6a2，故S锥∶S正方体=1∶.3.(4分)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为________.【解析】该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体.分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，棱锥高为，棱柱高为1，AG==.取AD的中点M，则MG=，S△AGD=×1×=，所以V=×1+2×××=.答案：4.(4分)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________.【解析】易知该几何体是正四棱锥.设正四棱锥为P-ABCD，连接BD，则PD=PB=1，BD=，则PD⊥PB.设底面中心为O，则四棱锥高PO=，则其体积是V=Sh=×12×=.答案：5.(14分)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.【解析】如图，E，E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O=12.连接OE，O1E1，则OE=AB=×12=6，O1E1=A1B1=3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H=O1O=12，OH=O1E1=3，HE=OE-O1E1=6-3=3.在Rt△E1HE中，E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×42+32=32×17，所以E1E=3.所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108.1.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.【解析】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按如图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.答案：82.若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E=CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积.【解析】如图所示，连接AB1，AC1.设AA1=h，因为B1E=CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又因为四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等，所以VA-BEFC==.又=·h，=·h=m，所以=，所以=-=m.所以VA-BEFC=×m=，即四棱锥A-BEFC的体积是.