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试卷第1页，总22页2020年浙江省高考数学试卷一、选择题1.已知集合𝑃={𝑥|1𝑥4},𝑄={𝑥|2𝑥3}，则𝑃∩𝑄=()A.{𝑥|1𝑥≤2}B.{𝑥|2𝑥3}C.{𝑥|2𝑥≤3}D.{𝑥|1𝑥4}2.已知𝑎∈𝐑，若𝑎−1+(𝑎−2)𝑖（𝑖为虚数单位）是实数，则𝑎=()A.1B.−1C.2D.−23.若实数𝑥，𝑦满足约束条件{𝑥−3𝑦+1≤0，𝑥+𝑦−3≥0，则𝑧=𝑥+2𝑦的取值范围是()A.(−∞，4]B.[4，+∞)C.[5，+∞)D.(−∞，+∞)4.函数𝑦=𝑥cos𝑥+sin𝑥在区间[−𝜋,𝜋]上的图象可能是()A.B.C.D.5.某几何体的三视图（单位：𝑐𝑚）如图所示，则该几何体的体积(单位：𝑐𝑚3)是()试卷第2页，总22页A.73B.143C.3D.66.已知空间中不过同一点的三条直线𝑚，𝑛，𝑙，则“𝑚，𝑛，𝑙在同一平面”是“𝑚，𝑛，𝑙两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，公差𝑑≠0，且𝑎1𝑑≤1.记𝑏1=𝑆2，𝑏𝑛+1=𝑆2𝑛+2−𝑆2𝑛，𝑛∈𝐍∗，下列等式不可能成立的是()A.2𝑎4=𝑎2+𝑎6B.2𝑏4=𝑏2+𝑏6C.𝑎42=𝑎2𝑎8D.𝑏42=𝑏2𝑏88.已知点𝑂(0,0)，𝐴(−2,0)，𝐵(2,0)．设点𝑃满足|𝑃𝐴|−|𝑃𝐵|=2，且𝑃为函数𝑦=3√4−𝑥2图像上的点，则|𝑂𝑃|=()A.√222B.4√105C.√7D.√109.已知𝑎，𝑏∈𝐑且𝑎𝑏≠0，对于任意𝑥≥0均有(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−2𝑎−𝑏)≥0，则()A.𝑎0B.𝑎0C.𝑏0D.𝑏010.设集合𝑆，𝑇，𝑆⊆𝐍∗，𝑇⊆𝐍∗，𝑆，𝑇中至少有2个元素，且𝑆，𝑇满足：①对于任意的𝑥,𝑦∈𝑆，若𝑥≠𝑦则𝑥𝑦∈𝑇②对于任意的𝑥,𝑦∈𝑇，若𝑥𝑦，则𝑦𝑥∈𝑆.下列命题正确的是()A.若𝑆有4个元素，则𝑆∪𝑇有7个元素B.若𝑆有4个元素，则𝑆∪𝑇有6个元素C.若𝑆有3个元素，则𝑆∪𝑇有5个元素D.若𝑆有3个元素，则𝑆∪𝑇有4个元素二、填空题我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{𝑛(𝑛+1)2}就是二阶等差数列．数列{𝑛(𝑛+1)2}(𝑛∈𝐍∗)的前3项和是________.试卷第3页，总22页二项展开式(1+2𝑥)5=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5，则𝑎4=________，𝑎1+𝑎3+𝑎5=________.已知tan𝜃=2，则cos2𝜃=________，tan(𝜃−𝜋4)=________.已知圆锥的侧面积（单位：𝑐𝑚2）为2𝜋，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：𝑐𝑚）是________.已知直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘0)与圆𝑥2+𝑦2=1和圆(𝑥−4)2+𝑦2=1均相切，则𝑘=________，𝑏=________.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为𝜉，则𝑃(𝜉=0)=________；𝐸(𝜉)=________.设𝑒1→，𝑒2→为单位向量，满足|2𝑒1→−𝑒2→|≤√2，𝑎→=𝑒1→+𝑒2→，𝑏→=3𝑒1→+𝑒2→，设𝑎→，𝑏→的夹角为𝜃，则cos2𝜃的最小值_________.三、解答题在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且2𝑏sin𝐴=√3𝑎.(1)求角𝐵；(2)求cos𝐴+cos𝐵+cos𝐶的取值范围.如图，在三棱台𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹中，平面𝐴𝐶𝐹𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=45∘，𝐷𝐶=2𝐵𝐶.(1)证明：𝐸𝐹⊥𝐷𝐵；(2)求直线𝐷𝐹与平面𝐷𝐵𝐶所成角的正弦值．试卷第4页，总22页已知数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}，{𝑐𝑛}中，𝑎1=𝑏1=𝑐1=1，𝑐𝑛=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛，𝑐𝑛+1=𝑏𝑛𝑏𝑛+2⋅𝑐𝑛，𝑛∈N∗.(1)若{𝑏𝑛}为等比数列，公比𝑞0，且𝑏1+𝑏2=6𝑏3，求𝑞的值及数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若{𝑏𝑛}为等差数列，公差𝑑0，证明：𝑐1+𝑐2+𝑐3+⋯+𝑐𝑛1+1𝑑，𝑛∈N∗.如图，已知椭圆𝐶1:𝑥22+𝑦2=1，抛物线𝐶2:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)，点𝐴是椭圆𝐶1与抛物线𝐶2的交点，过点𝐴的直线𝑙交椭圆𝐶1于点𝐵，交抛物线𝐶2于𝑀（𝐵，𝑀不同于𝐴）.(1)若𝑝=116，求抛物线𝐶2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线𝑙使𝑀为线段𝐴𝐵的中点，求𝑝的最大值.已知1𝑎≤2，函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−𝑎，其中𝑒=2.71828…为自然对数的底数．(1)证明：函数𝑦=𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有唯一零点；(2)记𝑥为函数𝑦=𝑓(𝑥)在(0,+∞)上的零点，证明：(𝑖)√𝑎−1≤𝑥0≤√2(𝑎−1)；(𝑖𝑖)𝑥0𝑓(𝑒𝑥0)≥(𝑒−1)(𝑎−1)𝑎.试卷第5页，总22页参考答案与试题解析2020年浙江省高考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵𝑃={𝑥|1𝑥4},𝑄={𝑥|2𝑥3}，∴𝑃∩𝑄={𝑥|2𝑥3}.故选𝐵.【点评】此题暂无点评2.【答案】C【考点】复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：∵𝑎−1+(𝑎−2)𝑖（𝑖为虚数单位）是实数，∴𝑎−2=0，∴𝑎=2.故选𝐶.【点评】此题暂无点评3.【答案】B【考点】求线性目标函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由约束条件{𝑥−3𝑦+1≤0，𝑥+𝑦−3≥0，作出可行域如图：试卷第6页，总22页联立{𝑥−3𝑦+1=0，𝑥+𝑦−3=0，解得{𝑥=2，𝑦=1.由图可得：平移直线𝑥+2𝑦=0到点𝐴时，𝑧=𝑥+2𝑦有最小值2+2=4，∴𝑧=𝑥+2𝑦的取值范围为[4,+∞).故选𝐵.【点评】此题暂无点评4.【答案】A【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：令𝑓(𝑥)=𝑥cos𝑥+sin𝑥，∴𝑓(−𝑥)=−𝑥cos(−𝑥)+sin(−𝑥)=−𝑥cos𝑥−sin𝑥=−𝑓(𝑥)，∴函数𝑓(𝑥)是奇函数，故选项𝐶,𝐷错误.∵当𝑥=𝜋时，𝑓(𝜋)=𝜋⋅cos𝜋+sin𝜋=−𝜋0，∴选项𝐵错误.故选𝐴.【点评】此题暂无点评5.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：根据该几何体的三视图可得，该几何体是由顶部的三棱锥和底部的三棱柱组合而成.试卷第7页，总22页则该几何体的体积𝑉=𝑉三棱锥+𝑉三棱柱=12×2×1×13+12×2×1×2=73.故选𝐴.【点评】此题暂无点评6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：当空间中不过同一点的三条直线𝑚，𝑛，𝑙在同一平面内时，𝑚，𝑛，𝑙可能互相平行，故不能得出𝑚，𝑛，𝑙两两相交；当𝑚，𝑛,，𝑙两两相交时，设𝑚∩𝑛=𝐴，𝑚∩𝑙=𝐵，𝑛∩𝑙=𝐶，根据公理：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，可知，𝑚，𝑛确定一个平面𝛼.又𝐵∈𝑚⊂𝛼，𝐶∈𝑛⊂𝛼，根据公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内，可知，直线𝐵𝐶即𝑙⊂𝛼，所以𝑚，𝑛，𝑙在同一平面．故“𝑚，𝑛，𝑙在同一平面”是“𝑚，𝑛，𝑙两两相交”的必要不充分条件.故选𝐵.【点评】此题暂无点评7.【答案】D【考点】数列递推式等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为{𝑎𝑛}为等差数列，其首项为𝑎1，公差为𝑑，所以𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑，𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑.因为𝑏𝑛+1=𝑆2𝑛+2−𝑆2𝑛，𝑛∈𝐍∗，所以𝑏𝑛+1=𝑆2𝑛+2−𝑆2𝑛=2𝑎1+(4𝑛+1)𝑑，即𝑏𝑛=2𝑎1+(4𝑛−3)𝑑.𝐴，2𝑎4=2(𝑎1+3𝑑)=2𝑎1+6𝑑=(𝑎1+𝑑)+(𝑎1+5𝑑)=𝑎2+𝑎6，试卷第8页，总22页故𝐴一定成立；𝐵，左边=2𝑏4=2(2𝑎1+13𝑑)=4𝑎1+26𝑑，右边=𝑏2+𝑏6=2𝑎1+5𝑑+2𝑎1+21𝑑=4𝑎1+26𝑑，左边=右边，故𝐵一定成立；𝐶，左边=𝑎42=(𝑎1+3𝑑)2=𝑎12+6𝑎1𝑑+9𝑑2，右边=𝑎2⋅𝑎8=(𝑎1+𝑑)(𝑎1+7𝑑)=𝑎12+8𝑎1𝑑+7𝑑2.因为𝑎1𝑑≤1，当𝑎1=𝑑时，左边−右边=−2𝑎1𝑑+2𝑑2=0，此时等式成立，故𝐶可能成立；𝐷，左边=𝑏42=(2𝑎1+13𝑑)2=4𝑎12+52𝑎1𝑑+169𝑑2，右边=𝑏2⋅𝑏8=(2𝑎1+5𝑑)(2𝑎1+29𝑑)=4𝑎12+68𝑎1𝑑+145𝑑2，左边−右边=−16𝑎1𝑑+24𝑑2，假设此等式成立，则有16𝑎1𝑑=24𝑑2，解得𝑎1𝑑=32，与𝑎1𝑑≤1相矛盾，故𝐷不可能成立.故选𝐷.【点评】此题暂无点评8.【答案】D【考点】双曲线的标准方程轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵点𝑃满足|𝑃𝐴|−|𝑃𝐵|=2，设点𝑃(𝑥,𝑦)，∴点𝑃的轨迹是以𝐴，𝐵为焦点的双曲线.设双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1，则2𝑎=2，2𝑐=4，即𝑎=1，𝑐=2.∵𝑐2=𝑎2+𝑏2，∴解得，𝑏2=3，∴双曲线的方程为𝑥2−𝑦23=1.∵𝑃为函数𝑦=3√4−𝑥2图象上的点，∴联立方程{𝑦=3√4−𝑥2，𝑥2−𝑦23=1，(𝑥0)解得{𝑥=√132，𝑦=3√32，即|𝑂𝑃|=√134+274=√10.故选𝐷.【点评】此题暂无点评试卷第9页，总22页9.【答案】C【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：因为𝑎𝑏≠0，所以𝑎≠0且𝑏≠0.设𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−2𝑎−𝑏)，则𝑓(𝑥)的零点为𝑥1=𝑎，𝑥2=𝑏，𝑥3=2𝑎+𝑏.当𝑎0时，则𝑥2𝑥3，𝑥10，要使𝑓(𝑥)≥0，必有2𝑎+𝑏=𝑎且𝑏0，即𝑏=−𝑎且𝑏0，所以𝑏0；当𝑎0时，则𝑥2𝑥3，𝑥10，要使𝑓(𝑥)≥0，必有𝑏0.综上一定有𝑏0.故选𝐶.【点评】此题暂无点评10.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：若取𝑆={1,2,4}，则𝑇={2,4,8}，此时𝑆∪𝑇={1,2,4,8}，包含4个元素，排除选项𝐶；若取𝑆={2,4,8}，则𝑇={8,16,32}，此时𝑆∪𝑇={2,4,8,16,32}，包含5个元素，排除选项𝐷；若取𝑆={2,4,8,16}，则𝑇={8,16,32,64,128}，此时𝑆∪𝑇={2,4,16,32,64,128}，包含7个元素，排除选项𝐵；下面验证选项𝐴：设集合𝑆={𝑝1，𝑝2，𝑝