专题立方和差公式和差的立方公式

专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算：（1）2(32)(964)yyy；（2）22151(5)(25)224xyxxyy；（3）2(21)(421)xxx。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.解：（1）原式=3333(2)278yy；（2）原式=333311(5)()12528xyxy；（3）原式=322328424218841xxxxxxxx。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x”改成“2x”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x”改成“4x”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261xxxxxxxxx。例2计算：（1）3639(1)(1)(1)xxxx；（2）22(1)(1)(1)(1)xxxxxx；（3）2222(2)(24)xyxxyy；分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.解：（1）原式9918(1)(1)1xxx；（2）解法一：原式22336[(1)(1)][(1)(1)](1)(1)1xxxxxxxxx；解法二：原式22(1)(1)[(1)][(1)]xxxxxx61x；（3）原式222[(2)(24)]xyxxyy63361664xxyy。说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.例3因式分解：（1）33125xy；（2）427aa；（3）66xy。分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的,ab是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。解：（1）原式3322()5(5)(525)xyxyxyxy；（2）原式3332(127)[1(3)](13)(139)aaaaaaaa（3）原式323233332222()()()()()()()()xyxyxyxyxxyyxyxxyy。说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例４设5,1xyxy,试求33xy的值。分析：对于立方和公式3322()()ababaabb，我们不难把它变成：332()[()3]abababab，即333()3()abababab，再应用两数和、两数积解题较为方便。解：3333()3()53(1)5140xyxyxyxy。说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。例5如果ABC的三边,,abc满足3222230aababacbcb，试判断ABC的形状。分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解：因为3222230aababacbcb，所以332222()()0abababacbc，即222()()()()0abaabbababcab，222()(c)0abab，所以ab或222abc，因此ABC是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.练习1.计算：（1）2(4)(164)aaa；（2）22121(2)(4)339abaabb；（3）2(1)(1)xxx；（4）22(2)(24)(2)xxxxx。2.计算：（1）222(2)(2)(24)(24)xxxxxx；（2）3(23)xy；（3）31(5)3b；（4）323(1)(1)mmm。3．分解因式：（1）33(21)xx；（2）33278xy；（3）33124xy；（4）664m。4．化简：abaabbabaabb。5．若0abc，求证：32230aacbcabcb。6．（1）已知2mn，求336mnmn的值；（2）已知：1xy，求333xyxy的值.7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长.8.已知1ab，求333aabb的值。9.已知2,48abab，求44ab的值。10.已知实数,,abc满足0abc，2223331,2,abcabcabc，求abc的值。答案：1．（1）364a；（2）331827ab；（3）31x；（4）2448xx。2．（1）664x；（2）32238365427xxyxyy；（3）235112525327bbb；（4）963331mmm。3、（1）2(31)(331)xxx；（2）22(32)(964)xyxxyy；（3）221(2)(42)4xyxxyy；（4）22(2)(2)(24)(24)mmmmmm。4．2b5．提示：322322()()0aacbcabcbabcaabb。6．（1）-8（2）17．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.10.16（兴化市第一中学张俊）