成人高考专升本《高等数学二》公式大全

第一章节公式1、数列极限的四则运算法则如果,lim,limByAxnnnn那么BAyxyxnnnnnnnlimlim)(limBAyxyxnnnnnnnlimlim)(limBAyxyxnnnnnnn.(lim).(lim).(lim）)0(limlimlimBBAyxyxnnnnnnn推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若na，nb，nc有极限，则：nnnnnnnnnncbacbalimlimlim)(lim特别地，如果C是常数，那么CAaCaCnnnnnlim.lim).(lim2、函数极限的四算运则如果,)(lim,)(limBxgAxf那么BAxgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)(limBAxgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)(lim)0)(lim()(lim)(lim)()(limxgBBAxgxfxgxf推论设)(lim),(lim),......(lim),(lim),(lim321xfxfxfxfxfn都存在，k为常数，n为正整数，则有：)(lim....)(lim)(lim)](....)()([lim2111xfxfxfxfxfxfnn)(lim)]([limxfkxkfnnxfxf)](lim[)]([lim3、无穷小量的比较：.0lim,0lim,,且穷小是同一过程中的两个无设);(,,0lim)1(o记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)2(同阶的无穷小是与就说如果CC;~;,1lim3记作是等价的无穷小量与则称如果）特殊地（.),0,0(lim)4(阶的无穷小的是就说如果kkCCk.,lim)5(低阶的无穷小量是比则称如果,0时较：当常用等级无穷小量的比x.21~cos1,~1,~)1ln(,~arctan,~tan,~arcsin,~sin2xxxexxxxxxxxxxxenexexxxnnxxxxx)11(lim)1(lim.)11(lim.1sinlim1000对数列有重要极限第二章节公式1.导数的定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔfΔx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．3．导函数(导数)当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.4．几种常见函数的导数(1)c′＝0(c为常数)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex(4)(lnx)′＝1x，(logax)′＝1xlogae=axln1(a＞0,a1)(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx(7)xx2cos1)'(tan,(8)xx2sin1)'(cot(9))11(11)'(arcsin2xxx,(10))11(11)'(arccos2xxx(11)211)'(arctanxx,(12)211)'cot(xxarc5．函数的和、差、积、商的导数(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′uv′＝u′v－uv′v2，(ku)′＝cu′(k为常数)．(uvw)′＝u′vw＋uv′w+uvw′微分公式：（1）为常数）cocd()(为任意实数））（adxaxxdaa()(21),1,0(ln1)(log)3(aadxaxdxadxxxd1)(ln)1,0(ln)(4aaadxaadxx）（dxeedxx)(xdxxdcos)(sin)5(xdxxdsin)(cos)6((7)dxxxd2cos1)(tan,(8)dxxxd2sin1)(cot(9)dxxx211)'(arcsin,(10)dxxx211)'(arccos(11)dxxxd211)(arctan,(12)dxxxarcd211)cot(6．微分的四算运则d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝vdu＋udv)0()(2vvudvvduvudd(ku)＝kdu(k为常数)．洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。）或‘()('')(''lim)(')(lim)()(limAxgxfxgxfxgxfaxaxax7.导数的应用：)('xf=0的点为函数)(xf的驻点，求极值；(1)0xx时，0)('xf;时0xx,0)'(xf,为极大值点的极大值，为则00)()(xxfxf;(2)0xx时，0)('xf;时0xx,0)'(xf,为极小值点的极大值，为则00)()(xxfxf;(3)不是极值点。不是极值，么的两端的符号相同，那在如果000)()('xxfxxf;)(''xf=0的点为函数)(xf的拐点，求凹凸区间；为凸的（下凹）取值范围内，曲线的)(0)(''xfyxxf为凹的（上凹）取值范围内，曲线的)(0)(''xfyxxf第三章知识点概况不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作dxxf)(，并称为积分符号，函数)(xf为被积函数，dxxf)(为被积表达式，x为积分变量。CxFdxxf)()(因此不定积分的性质：dxxfdxxfdxfdxxf)()()(]')()[1(或CxFxdFCxFdxxF)()()()(')2(或dxxdxxdxxfdxxxxf)(....)()()](....)()([)3()0()()()4(kkdxxfkdxxkf为常数且基本积分公式：Cdx0)1()1(11)2(1aCxadxxaaCxdxxln1)3()1,0(ln1)4(aaCaadxaxxCedxexx)5(Cxxdxcossin)6(Cxxdxsincos)7(Cxdxxtancos1)8(2Cxdxxcotsin1)9(2Cxdxxarcsin-11)10(2Cxdxxarctan11)11(2换元积分（凑微分）法：1.凑微分。对不定积分dxxg)(，将被积表达式g(x)dx凑成dxxxdxxg)(')]([)(2.作变量代换。令duufdxxxfdxxgdxxxdduxu)()(')]([)()(')(),(变换带量凑微分代入上式得：则3.用公式积分，，并用)(xu换式中的uCxFCuFduuf)]([)()(回代公式常用的凑微分公式主要有：)()(1)(1baxdbaxfadxbaxf）（)()(1)(21baxdbaxfkadxxbaxfkkkk）（)()(21)(3xdxfdxxxf）（)1()1(1)1(42xdxfdxxxf）（)()()(5xxxxedefdxeef）（)(ln)(ln1)(ln6xdxfdxxxf）（)(sin)(sincos)(sin7xdxfxdxxf）（)(cos)(cossin)(cos8xdxfxdxxf）（)(tan)(tancos1)(tan92xdxfdxxxf）（)(cot)(cotsin1)(cot102xdxfdxxxf）（)(arcsin)(arcsin11)(arcsin112xdxfdxxxf）（)(arccos)(arccos11)(arccos122xdxfdxxxf）（)(arctan)(arctan11)(arctan132xdxfdxxxf）（)0)()()((ln)()('14xxddxxx）（分部积分法：udvuvvduvduuvudvudvvduuvxudvvduuvd或移项得积分得两边对)(适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法dxedvxPudxxPeaxax),()(1设）（axdxdvxPuaxdxxPsin),(sin)(2设）（axdxdvxPuaxdxxPcos),(cos)(3设）（dxxPdvxuxdxxP)(,lnln)(4设）（dxxPdvxuxdxxP)(,arcsinarcsin)(5设）（dxxPdvxuxdxxP)(,arctanarctan)(6设）（为任意选取，其中为任意选取，其中）（vubxdxevubxdxeaxax,cos,sin7上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。定积分:此式子是个常数△）（△iniibaxfndxxf)(lim)(10(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有babadttfdxxf)()(（2）在定积分的定义中，我们假定ab;如果ba，我们规定：abbadxxfdxxf)(-)(如果a=b,则规定：0)(aadxxf（3）对于定义在],[aa上的连续奇（偶）函数)(xf，有0)(dxxfaa)(xf为奇函数aaadxxfdxxf0)(2)()(xf为偶函数定积分的性质：为常数））（kdxxkfdxxkfba()()(1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([2）（的内外点）为）（bacdxxfdxxfdxxfbccaba,()()()(3（单调性）则上总有）如果在区间（babadxxgdxxfxgxfba)()(),()(],[4abdxba15）（)()()(],[)(6abMdxxfabmbaxfmMba则有上的最大值和最小值，在区间分别是和）设（))(()(],[],[)(7abfdxxfbabaxfba使得下式成立：，上至少存在一点上连续，则在在闭区间函数）积分中值定理：如果（定积分的计算：一、变上限函数设函数xf在区间ba,上连续，并且设x为ba,上的任一点，于是，xf在区间ba,上的定积分为dxxfxa这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为dttfxa如果上限x在区ba,间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在ba,上定义了一个以x为自变量的函数x，我们把x称为函数xf在区间ba,上变上限函数记为bxadttfxxa推理：xaxfdttfx)(]')([)(')(')]([)('])([]')([)(')()(xaxafxbxbfdttfxxbxa定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度0tvtv作直线运动，那么在时间区间ba,上所经过的路程s