2010建模竞赛模糊数学(最终改后稿)

经济管理中的数学方法与应用——以评价企业竞争力为例统计与数学学院杨皓一、模型的建立１．提出问题现今国有企业普遍不景气，而与此形成对照的是私营企业的红火发展，这就不得不让人提出这样的疑问：企业如何才能在经济浪潮中生存发展？我们又该如何去评价一个企业的实力呢？为此我们将就企业实力问题进行研究。那么选择哪个行业，哪些企业呢？对市场有过了解的同学都知道：中国市场在经历了彩电行业的价格战之后，现在又迎来了手机行业新一轮的残酷竞争。在国内众多手机企业中，我们将选择几家具有代表性的企业进行一个评价分析。下面就是我们选择的几家手机企业的原始数据资料．对企业评价的文章相信大家在网上也都看过，有的选择各大财务指标，有的仅仅进行了一个定性的评价。下面我们将对企业竞争力进行一个评价，之所以选择企业竞争力是因为它是一个综合性指标，既包括了上述的财务指标，也包括了其他的一些定性指标，如服务满意度等。至此我们就确定了所要研究的问题是：对国内五家手机企业的竞争力进行一个综合评价分析。２．建模方法的选择要对各企业的竞争力进行综合评价分析，这就注定了传统方法在此的不可行，由此我们需要介绍几种现今比较流行的综合评判方法，主要有：层次分析法，模糊数学法，灰色系统法。３．1模糊数学第一讲模糊数学1.模糊数学的提出2.相关概念及运算规律的简介第二讲模糊综合评价1.模糊综合评判的步骤2.举例(服装评价)第一节模糊数学的提出同学们首先需要清楚一点:模糊数学并不是让数学变成模糊的东西,而是要让数学进入模糊现象这个禁区,用定量方法来研究模糊现象。我们知道精确方法的逻辑是“二值逻辑”，即对每个命题作出明确判断，非真即假。那么是否所有的现象、概念、命题都是这样呢？跟我来看一个例子哦!朋友悖论命题A：“刚刚结识的朋友是新朋友”；命题B：“新朋友过了一秒钟还是新朋友”。以A、B为前提，用精确推理方法（数学归纳法）得到以下命题命题C：“新朋友在一百年之后还是新朋友”。显然,C是一个假命题。由此可见，精确数学无法处理所有的社会现象。1965年，美国加利福尼亚大学自动控制专家L.A.Zadeh教授发表了“模糊集”论文，第一次提出模糊集的概念，从而开创了模糊数学崭新的数学分支．下面我们就相关概念及其性质进行介绍．３.2.1模糊集，隶属函数设U为论域，对于子集A，为了表示论域中的元素u对A的关系，我们引入隶属度的概念．下面给出模糊子集的定义．定义：设Ａ是论域Ｕ上的模糊子集，对任意，都对应一个数，称为元素对的隶属度。实值函数称为A的隶属函数。第二节相关概念及运算规律uUuA()0,1Au:U0,1u()AAu200501()502005011()5Ouuuu为了描述一般的情况，对隶属函数进行进一步的分析，下面我们来看一个例子：例1以年龄为论域，取U=[0，200]，则“年老”=O，“年轻”=Y，可表示如下：同理再看年轻的例子210251()25200251()5Yuuuu一、模糊集的表示３.2.2模糊集的表示与运算~12~,,,;(),()nAiUuuuAFUu~~~12~12()()()AAAnnuuuAuuu设为隶属度，则这里分式表示对应关系，“+”表示各项汇总，是一个集合概念。很显然这是一个有限集，就可类似的推广到无限集。二、模糊集的运算~(),()()()(),()()()()1()ccFAuuuuuuuuuu~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ABABABABABABAA定义：设A，B（U），定义AB，AB，A使之分别具有隶属函数，（U）定义为max定义为（U）定义为min定义为在此我们举一个简单的例子，比如以某同学５门成绩作为论域，其中就有五个元素，由于这五个元素分别隶属于不同的子集，根据隶属函数就确定了其隶属度，用符号表示如下：~~1122334455123450.80.20.20.40.100.40.60.70.9()()()()()uuuuuuuuuu0.80.40.10.60.9=uuuuuAB~~~~cABABc习题，，。~12345~12450.80.20.10.40.720.20.40.60.9AuuuuuBuuuu例：设定理2并、交、补运算~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~AAAAAAABBAABBAABCABCABCABCABCABACABCABAC（1）幂等律，（2）交换律，（3）结合律（）（）（）（）（4）结合律（）（）（）（）（）（）~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ccABAAABAAAUUAUAAAAAAABABccc（5）吸收律（）=（）=（6）0-1律，，（7）复原律（）=（8）DeMorgan律（）第二讲模糊综合评判为了以最直观的方式，将模糊综合评判的方法讲清楚，我将通过举一个简单的例子，把相关知识贯穿其中，为大家把这个问题论述清楚。例3：服装厂生产某种服装，欲了解该服装的欢迎程度，采用模糊综合评判方法。针对这个问题，我们首先第一步应该：建立因素集。此例中，我们就可以设定服装的评判因素为U花色，样式，价格，耐用度，舒适度第二步：建立权重集（即针对以上因素确定各自的重要程度）。因为男生与女生对上述因素的评判存在很大差异，比如女生会比较注重样式和花色，而男生则会更多地关注耐用度和舒适度，现在我们从男生的角度，确定权重集如下：~0.1,0.1,0.15,0.3,0.35A~0.1,0.1,0.15,0.3,0.35A第三步：建立备择集。因为该例中厂商想了解的是服装的受欢迎程度，故而总的评判结果应是各个“欢迎”等级，可取各备择集为：,,,V很欢迎欢迎一般不欢迎第四步：单因素评判：由于我们的因素集有5个因素，备择集有4个等级，那么我们的单因素评判矩阵11142124~515454rrrrRrr~R矩阵在此的确定就成为整个模型建立的关键，如何得呢？针对该问题，我们就可以采用市场调查法，比如随机抽查100名男顾客，在此就可设置一张如下调查表。（是√,一栏允许打一√）等级因素很欢迎欢迎一般不欢迎花色样式价格耐用度舒适度~540.20.50.300.10.30.50.10.00.10.60.30.00.40.50.10.50.30.20.0R最后根据各栏的“√”数，除以抽样总数，确定各评判矩阵。第五步：模糊综合评判。介绍4种评判模型。模型Ⅰ(∨，∧)：表示先取小再取大。既突出了主要因素，又最大限度突出隶属度。模型Ⅱ(∨，●)：“●”表示普通乘法，然后“∨”表示取大。min{1,}yxy模型Ⅲ（，），这里“”表示“上限求和1?比如：x模型Ⅳ（+，●）：这里“+”和“●”分别表示普通加法、乘法运算。那么在服装评价中我们采用“∨，∧”合成法，就得到~0.350.300.30BAR，，，0.15第六步：对评判向量进行分析处理。归一化得~0.32,0.27,0.27,0.14B要得到队该品牌服装的综合总评分，我们可以用公式11(1,2)mmkkjjjjjbbk可取在此我们取k=1，再对v进行量化（1，0.8，0.5，0）。由此便可求得(0.3210.270.80.270.50.140)10.671四、数据的选择与计算在几家上市手机企业中，我们选择了夏新，波导ＴＣＬ，中兴，以及东方通信，同时选择了总资产，净利润，净收益率，主营业务收入，资产负债率，及市场占有率六个数量指标，具体数据如下：基于以上的介绍，我们来对企业竞争力进行分析企业竞争力资产实力营运绩效企业形象总资产资产负债率资产净收益率主营业务收入销售净利润市场占有率企业文化服务满意度(1,2,3)kBkijC1B2B3B首先确定各分类因素，在此即为(资产实力，营运绩效，企业形象)，以及所属分类指标，在此由上树形图可知各所属指标矩阵为=（总资产，资产负债率，资产净收益率），=（主营业务收入，销售净利润，市场占有率），=（企业文化，服务满意度）然后对于定量指标，建立相应的分段隶属函数。其中a,b分别表示分类定量指标的最小值和最大值．是内插于（a，b）内的p-2个等距离点，其中。221,,Pxxxbxaxp10,隶属函数表达成为,/)(,12)1(hxcpkjbcxbcp2,/)(,/)(11)(hxchcxtptptkjtptptptpxcxxcx11)1,,3,2(pt()()/,0,pkjcahacxca1)1/()(pabh由此便可得到各所属分类的隶属度矩阵，(以夏新为例)10000000000.60750000.95710R2000000000.3474000000.6088R对于定性指标，用模糊映射法，依据企业竞争力等级标准表，确定指标关于等级的隶属度，从而得到模糊向量),,2,1;,,2,1(),,,,()()2()1(kpkjkjkjkjnjmkR在此我们主要是采用调查法进行确定。调查表见下：由此我们根据调查结果，统计出每栏“√”数，用每栏“√”数除以调查总人数，就可确定定性指标的隶属度矩阵（以夏新为例）.30.0920.2080.110.330.260.1870.1360.3380.2490.09R第四步：确定各所属分类指标的权重123(0.2,0.35,0.45)(0.2,0.4,0.4)(0.4,0.6)第五步：求一级评判矩阵1'23BRBB第六步：求出二级评判向量iB0.40.40.2各分类因素的权重，即相对于目标层的权重为由此便可求得评判矩阵.0000.430.2130.40.40.20000.1390.2440.030.0330.0490.2840.2140.1490.1650.2470.2810.158R第七步：设分数值则企业竞争力评价分数值为12(,,,),TpFfffpjkjPjjkjfZ11(95,85,75,60,30)TF1k根据综合分值栏，我们取就可求得夏新公司的综合评价分值为95850.030.0330.0490.2840.21475(0.03+0.033+0.049+0.284+0.214)53.7726030五、计算结果其他公司的分值计算方法同上，可得各公司综合评价结果如下：六、模型的评价本模型运用模糊数学的方法，克服了层次分析法更多的依赖权重的弱点，在一定程度上减弱了人为因素的影响．在该模型中运用的隶属度的确定方法，对其他的模型的建立具体一定启发性有同学会对其中的权重设定产生疑问，其实如果这种权重设定合理，符合市场规律，那么它就可以作为一种导向，引导企业的发展方向．况且在同样的标准下，也不存在公平与公平的质疑．