Z反变换

徐昌庆SignalsandSystems§7.3Z反变换2020/9/22)()(nxZzX)()(1zXZnx三种方法：1，长除法；2，部分分式展开法；3，留数法一，长除法（幂级数展开法）P319排序问题由Z变换的定义式：nnznxzX)()(可知,X(z)是Z-1的幂级数，所以只要在给定的收敛域内把X(z)产开成幂级数，那么级数的诸系数就组成序列x(n)2020/9/22一般情况下，X(z)是有理数，可用长除法得到Z-1的幂级数。例8-3)(),2(,)2)(1()(nxzzzzzX求已知解：排列的升幂或的降幂形式多项式按的分子分母是因果序列。将)()()(,21zzzXnxz2020/9/22232zzz1z123zz123z23z21693zz2167zz37z32114217zzz415z321415zz432304515zzz433031zz43211573)(zzzzzXnnnzzzzz04321)12(15730)()12()(nunxn2020/9/22例8-4)(),221(,2375)(2nxzzzzzX求已知解：必为双边序列。)(,231nxz)2)(13(52375)(2zzzzzzzXzzzzzzz223131223131)2)(31(352020/9/22前项对应右边序列。,231z3131z131z19131z191z291z2127191zz3271z2271znnnzz13131312020/9/22)(1的降幂或的升幂排序除法时按后项对应左边序列。长zz22z1z2zz21221zz241z221znnnzzzz0224121122324121zz341z)(2)1(31)(nununxnn2020/9/22二、部分分式展开法X(z)通常是有理函数，可表示成有理分式01110111)(azazazabzbzbzbzXkkkkrrrrrkzRzx要求处收敛，，为保证对于因果序列，1变换的基本形式。这是，ZazznuaZnZn)(,12020/9/22的形式展开成故可将kmmmzzAzzX0)(的形式也就是kmmmzzAzzzX0)(mmzzmzzmmzzXzzzzXResAA)()()(:,即可以用留数法求得这样，0000)(,)(abzXAzXzzm而的一阶极点是其中kmnmmnuzAnAnx10)()()()(这样，2020/9/22是左边序列，这时，则若收敛域)(nxRzxkmnmmnuzAnAnx10)1()()()(这样，阶极点时，是当szisjjijMmmmzzzBzzzAzX10)(sjjijMmmmzzzBzzzAA110对应表8-22020/9/22点的求取方法的求取方法就是一阶极mAizzsijsjsjzzXzzdzdjsB)()()!(1sjjijMmmmzzzCzzzAAzX110)(高阶极点时，X(z)还可以展开成对应表8-3izzsiszXzzzC)()(这时，用待定系数法求得其他jC对应表9-2，322页2020/9/22例8-5反变换时的，求收敛域分别为已知：ZzzzzzzzX35.0),3(;5.0),2(;3),1(3722)(2解：35.0223722)(2zzzzzzzzzzX35.02321zAzAA32)()(001zzzxzzXzA1)(5.05.02zzzXzA31)(333zzzXzA2020/9/223315.0132)(zzzzzX3315.032)(zzzzzX是右边序列时，)(3),1(nxz)(3315.0)(32)(nunnxnn)(35.0)(321nunnn0)(lim)(zxnxz2020/9/22是左边序列时，)(5.0),2(nxz)1(3)1(21)(32)(1nununnxnn0)(lim)(zxnxz是双边序列时，)(35.0),3(nxz中3315.032)(zzzzzX)1()2()3()(32n第一项对应，对应第二项极点是5.05.0)(21znun，收敛域)1(33133nuzn对应一个左边序列，，收敛域第三项极点为2020/9/22)1(3)(21)(32)(1nununnxnn32331lim5.0lim31)0(0zzzzxzz例8-6反变换，求，已知ZzzzzzX15.01)(34解：二阶极点一阶极点，5.01zz2020/9/2215.05.05.0)(1013212311zAzAzBzBzBzzX故43110.50.5()10.514zzXzzBzzzz85.0)(113412zzzzzzzXzA0)(00zzXA43120.50.5()0.521zzdXzdzBzdzzdzzz224313220.50.51()10.57221zzdXzdzBzdzzdzzz2020/9/22185.075.025.041)(23zzzzzzzzzX)(8)(217)(212)(212141)(nunununnunnnxnnn)(21781581)(82nunnnun三、留数法（围线积分法）1,)()(0xnnRzznxzX2020/9/221011)()(,mnnmmzznxzzXz两边乘在X(z)的收敛域内选择一逆时针围线C包围原点，然后，上式两边绕C积分CnmnCmnnCmdzznxdzzznxdzzzX10101)()()(由柯西定理otherskjdzzCm,00,212020/9/22)(2)(1nxjdzzzXCm则CmdzzzXjnx1)(21)(jIm(z)Re(z)CZmn=m一项由留数定理：CndzzzXj1)(21mzzmnzzXRes1)()())((,1一阶的极点即内的奇点为nmzzXCz2020/9/22于是：0,00,)()(1nnzzXResnxmzzmn阶极点时，的是若szzXzznm1)(1111)()!1(1)(nsmsszznzzXzzdzdszzXResmmz一阶极点11)()(nmzznzzXzzzzXResm2020/9/22反方向与可设围线之外围线的极点全部位于则函数的收敛域对于CCCCzzXRzzXnx''1,,)(,)(20,)(0,)()(11nzzXResnzzXResnxCnCn内极点外极点则0,)(0,)()(11nzzXResnzzXResnxCnCn外极点内极点则时，当21xxRzRjIm(z)Re(z)CZmC’2020/9/22例8-7反变换时的，求收敛域分别为已知：ZzzzzzzzX35.0),3(;5.0),2(;3),1(3722)(2111222()27320.53nnnzzXzzzzzzzz解：(1),30zn，必为因果序列，只需求情况下的留数12()20.53nnmzzxnReszz11(),0.5,3nnxzzzz当时，有三个一阶级点2020/9/22jIm(z)Re(z)0.53C110.5322()20.5320.53nnnnzzzzzzxnResReszzzz10.520.520.53nnzzzzzz132320.53nnzzzzzz113,123nnn2020/9/2200,0.5,3nzzz当时，围线内有三个极点12()20.53nnmzzxnReszz1100.5132220.5320.53220.53nnnnzznnzzzzzResReszzzzzzReszz2110332020/9/22211()()()3()323nnxnnunun(0)0,0xn0,,'nCC有效求围线外即内的极点的留数。jIm(z)Re(z)C0.531(2),0.50()nznXzz时，，在围线012(0)()3zxResXzz0Cz内有极点2020/9/2210.53nCzz时，围线外有极点和110.53()()()nnzzxnResXzzResXzz11(1)3(1)23nnunun211()()(1)3(1)323nnxnnunun(3),0.53z时，双边序列10.5nz时，围线内极点2020/9/22jIm(z)Re(z)C30.510.5()()nzxnResXzz1,12nn00,0.5nzz时，围线内极点10()()nzxnResXzz10.5()nzResXzz2132020/9/2203nz时，围线外极点13()()nzxnResXzz133n211()()()3(1)323nnxnnunun1(0)3x2020/9/22例：利用部分分式展开法求解：33240()424zzXzzZzz，，求反变换301()42jjjBAXzzzz()Xzz将展开成0312234222ABBBzzzz2020/9/22312()216zXzBzz30344()240412zzXzzzAzzz322()24zdXzBzdzz233221()212zdXzBzdzz23416(),44222zzzzXzzzzzz2020/9/2231312()2nnnzZaunza2121()nzZnaunza利用位移特性：