《数值分析简明教程》第二版(王能超-编著)课后习题答案--高等教育出版社

【思路岛答案网】、（p.11，题1）用二分法求方程013xx在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212||kkkabxx，得到100021k.两端取自然对数得96.812ln10ln3k，因此取9k，即至少需二分9次.求解过程见下表。kkakbkx)(kxf符号0121.5+1234567892、（p.11，题2）证明方程210)(xexfx在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021。【解】由于210)(xexfx，则)(xf在区间[0,1]上连续，且012010)0(0ef，082110)1(1eef，即0)1()0(ff，由连续函数的介值定理知，)(xf在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('xexf，即)(xf在区间[0,1]上是单调的，故)(xf在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||kkkabxx，得到1002k.两端取自然对数得6438.63219.322ln10ln2k，因此取7k，即至少需二分7次.求解过程见下表。kkakbkx)(kxf符号0010.5123【思路岛答案网】．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21x，71.22x，x2=2.71，718.23x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为11102105.001828.0||xe，所以7.21x有两位有效数字；因为12102105.000828.0||xe，所以71.22x亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||xe，所以718.23x有四位有效数字；%85.17.205.0||111xxer；%85.171.205.0||222xxer；%0184.0718.20005.0||333xxer。评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21x，71828.22x，0718.03x均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】005.01，31111084.172.2005.0xr；000005.02，62221084.171828.2000005.0xr；00005.03，43331096.60718.000005.0xr；评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3．（p.12，题10）已知42.11x，0184.02x，4310184x的绝对误差限均为【思路岛答案网】，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为2105.0知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11x，有三位；0184.02x有一位；而0184.01018443x，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54，习题1）求作xxfsin)(在节点00x的5次泰勒插值多项式)(5xp，并计算)3367.0(5p和估计插值误差，最后将)5.0(5p有效数值与精确解进行比较。【解】由xxfsin)(，求得xxfcos)()1(；xxfsin)()2(；xxfcos)()3(；xxfsin)()4(；xxfcos)()5(；xxfsin)()6(，所以)(5xp500)5(200)2(00)1(0)(!5)()(!2)())(()(xxxfxxxfxxxfxf5)5(2)2()1(!5)0(!2)0()0()0(xfxfxff53!51!31xxx插值误差：)(5xR66060)6(!61)(!6|)sin(|)(!6|)(|xxxxxf，若5.0x，则)3367.0(5p3303742887.0!53367.0!33367.03367.053，而5665105.01002.2!63367.0)3367.0(R，精度到小数点后5位，故取33037.0)3367.0(5p，与精确值330374191.0)3367.0sin()3367.0(f相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210xxxx，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）234)(3xxxf；（2）342)(xxxf【解】依题意，3n，拉格朗日余项公式为30)4(3)(!4)()(iixxfxR（1）0)()4(xf→0)(3xR；（2）因为!4)()4(xf，所以【思路岛答案网】整理提供)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!4)()()4(3xxxxxxxxfxR3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。i012ix0.320.340.36)sin(ix0.3145670.3334870.352274【解】依题意，3n，拉格朗日余项公式为30)4(3)(!4)()(iixxfxR（1）线性插值因为3367.0x在节点0x和1x之间，先估计误差2))(max())((2)sin())((!2)('')(1010101xxxxxxxxxxxxfxR421021201.0；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。x0x1(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)xy0)(1xP)sin()()sin()(1)sin()sin(01100110100101xxxxxxxxxxxxxxxxxx)(1xP)32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01)32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002.013304.0【思路岛答案网】整理提供（2）抛物线插值插值误差：)(2xR))()((6)cos())()((!3)('''210210xxxxxxxxxxxxf632101021601.036))()(max(xxxxxxx0x1Max=3(x1-x0)3/8y=(x-x0)(x-x1)(x-x2)xy0x2抛物线插值公式为：)(2xP)sin())(())(()sin())(())(()sin())(())((202120112101200201021xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)sin(2))(()sin())(()sin(2))((02.012011200212xxxxxxxxxxxxxxx)3367.0(2P)36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025)36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.0102533037439.0经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2P，与330374191.0)3367.0sin(精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、（p.56，习题33）设分段多项式211210)(2323xcxbxxxxxxS是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S(x)在x=1节点【思路岛答案网】整理提供函数值连续：)1(1111211)1(2323ScbS，即：)1(1cb一阶导数连续：)1(12161213)1('22'ScbS，即：)2(12cb解方程组（1）和（2），得3,2cb，即21132210)(2323xxxxxxxxS由于)1(221262123)1(''''SS，所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。2、已知函数211xy的一组数据，2,1,0210xxx和2.0,5.0,1210yyy，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算)5.1(f的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为)()(21xSxS和，利用拉格朗日线性插值公式，求得15.05.00101101)(101001011xxxyxxxxyxxxxxS；8.03.02.01215.0212)(212112122xxxyxxxxyxxxxxS（2）93076923076.05.111)5.1(2f，而35.08.05.13.0)5.1(2S，实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2Sf。由422)3(322)2(22)1()1()1(24)(,)1()31(2)(,)1(2)(xxxxfxxxfxxxf,可知5.0)1()2(2fM，则余项表达式5.00625.05.05.0!2|)2)(1(|!2|)(|)(422)2(MxxfxR1.4曲线拟合1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：【思路岛答案网】整理提供72623531142yxyxyxyx【解】构造残差平方和函数如下：2222)72()62()353()1142(),(yxyxyxyxyxQ，分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：0),(xyxQ：)1(176yx，0),(yyxQ：)2(48463yx，解方程组（1）和（2），得24176.1273173486,04029.3273481746yx2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如2bxay的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令2xX，则bXay为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得)2()1(5551251514512512515151251iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyXxbxaXbXayxbaXba；依据上式中的求和项，列出下表xiyiXi(=xi2)Xi2(=xi4)Xiyi(=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8∑157271.453277277699369321.5将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得)2(5.36932172776995327)1(4.2715327500baba97258.080115661.7791878532753277277699553275