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１９８７年全国硕士研究生招生考试试题【编者注】１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙ′＝，ｙ″＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎ→∞ｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝，∫ｂａｆ′（２ｘ）ｄｘ＝．二、（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘ→０１ｘ－１ｅｘ－１()．三、（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四、（本题满分８分）计算定积分∫１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五、（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六、证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆ′（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇ′（ｃ）＝０，ｇ″（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七、（本题满分１０分）计算不定积分∫ｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题八、（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九、选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－∞＜ｘ＜＋∞）是（ ）（Ａ）有界函数． （Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（ ）（Ａ）当ｘ→∞时为无穷大．（Ｂ）在（－∞，＋∞）内有界．（Ｃ）在（－∞，＋∞）内无界．（Ｄ）当ｘ→∞时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘ→０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（ ）（Ａ）ｆ′（ａ）．（Ｂ）２ｆ′（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆ′（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔ∫ｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（ ）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十、（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一、填空题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｘ≤０，ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），ｘ＞０{在（－∞，＋∞）内连续，则ａ＝．（２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘ→∞ｔ１＋１ｘ()２ｔｘ，则ｆ′（ｔ）＝．（３）设ｆ（ｘ）连续，且∫ｘ３－１０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝．（４）ｌｉｍｘ→０＋１ｘæèçöø÷ｔａｎｘ＝．（５）∫４０ｅｘｄｘ＝．二、选择题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋１２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（ ）（Ａ）－１６，０()．（Ｂ）（－１，０）．（Ｃ）１６，０()．（Ｄ）（１，０）．（２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－∞，＋∞）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（ ）（Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）．（Ｂ）ｆ′（ｘ）＜ｇ′（ｘ）．（Ｃ）ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）．（Ｄ）∫ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜∫ｘ０ｇ（ｔ）ｄｔ．（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆ′（ｘ０）＝１２，则当Δｘ→０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（ ）（Ａ）与Δｘ等价的无穷小．（Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小．（Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小．（Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小．（４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ３２ｘ（０≤ｘ≤π）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）（Ａ）４３．（Ｂ）４３π．（Ｃ）２３π２．（Ｄ）２３π．（５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙ″－２ｙ′＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆ′（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在点ｘ０处（ ）（Ａ）有极大值．（Ｂ）有极小值．（Ｃ）某邻域内单调增加．（Ｄ）某邻域内单调减少．３１９８８年真题三、（本题共３小题，每小题５分，满分１５分）（１）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ２，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）≥０，求φ（ｘ）并写出它的定义域．（２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙ′ｘ＝０，ｙ″ｘ＝０．（３）求微分方程ｙ′＋１ｘｙ＝１ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．四、（本题满分１２分）作函数ｙ＝６ｘ２－２ｘ＋４的图形，并填写下表．单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（∪）区间凸（∩）区间拐点渐近线五、（本题满分８分）将长为ａ的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分１０分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙ″－３ｙ′＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）．七、（本题满分７分）设ｘ≥－１，求∫ｘ－１（１－ｔ）ｄｔ．八、（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上有连续导数，且ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ．（１）求ｌｉｍａ→０＋１４ａ２∫ａ－ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ；（２）证明：１２ａ∫ａ－ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）≤Ｍ－ｍ（ａ＞０）．４历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一、填空题（本题共７小题，每小题３分，满分２１分）（１）ｌｉｍｘ→０ｘｃｏｔ２ｘ＝．（２）∫π０ｔｓｉｎｔｄｔ＝．（３）曲线ｙ＝∫ｘ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋ｎ），则ｆ′（０）＝．（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２∫１０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝．（６）设ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ２，ｘ≤０，ｓｉｎｂｘｘ，ｘ＞０{在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是．（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝．二、（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）已知ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅ－ｘ，求ｙ′．（２）求∫ｄｘｘｌｎ２ｘ．（３）求ｌｉｍｘ→０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）１ｘ．（４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２），ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ，{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．（５）已知ｆ（２）＝１２，ｆ′（２）＝０及∫２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求∫１０ｘ２ｆ″（２ｘ）ｄｘ． 三、选择题（本题共６小题，每小题３分，满分１８分）（１）当ｘ＞０时，曲线ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ（ ）（Ａ）有且仅有水平渐近线．（Ｂ）有且仅有铅直渐近线．（Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线．（Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线．（２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（ ）（Ａ）无实根．（Ｂ）有唯一实根．（Ｃ）有三个不同实根．（Ｄ）有五个不同实根．（３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ(－π２≤ｘ≤π２)与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ）（Ａ）π２． （Ｂ）π．（Ｃ）π２２．（Ｄ）π２．５１９８９年真题（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（ ）（Ａ）必取极大值．（Ｂ）必取极小值．（Ｃ）不可能取极值．（Ｄ）是否取极值不能确定．（５）微分方程ｙ″－ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（ ）（Ａ）ａｅｘ＋ｂ．（Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ．（Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ．（Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ．（６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（ ）（Ａ）ｌｉｍｈ→＋∞ｈ［ｆ（ａ＋１ｈ）－ｆ（ａ）］存在．（Ｂ）ｌｉｍｈ→０ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ）ｈ存在．（Ｃ）ｌｉｍｈ→０ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ）２ｈ存在．（Ｄ）ｌｉｍｈ→０ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ）ｈ存在．四、（本题满分６分）求微分方程ｘｙ′＋（１－ｘ）ｙ＝ｅ２ｘ（０＜ｘ＜＋∞）满足ｙ（１）＝０的特解．五、（本题满分７分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－∫ｘ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ为连续函数，求ｆ（ｘ）．六、（本题满分７分）证明方程ｌｎｘ＝ｘｅ－∫π０１－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋∞）内有且仅有两个不同实根．七、（本题满分１１分）对函数ｙ＝ｘ＋１ｘ２填写下表．单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八、（本题满分１０分）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０≤ｘ≤１时，ｙ≥０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所围图形的面积为１３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９０年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ｓｉｎ３ｔ{上对应于ｔ＝π６处的法线方程是．（２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ｘｓｉｎ１ｘ，则ｙ′＝．（３）∫１０ｘ１－ｘｄｘ＝．（４）下列两个积分的大小关系是：∫－１－２ｅ－ｘ３ｄｘ∫－１－２ｅｘ３ｄｘ．（５）设函数ｆ（ｘ）＝１， ｘ≤１，０， ｘ＞１，{则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝．二、选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知ｌｉｍｘ→∞ｘ２ｘ＋１－ａｘ－ｂ()＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（ ）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１．（Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上连续，则ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ[]等于（ ）（Ａ）ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ．（Ｄ）ｆ′（ｘ）ｄｘ．（３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆ′（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（ ）（Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ．（Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ．（４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝∫ｅ－ｘｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆ′（ｘ）等于（ ）（Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（５）设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ，ｘ≠０，ｆ（０），ｘ＝０，{其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆ′（０）≠０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（ ）（Ａ）连续点．（Ｂ）第一类间断点．（Ｃ）第二类间断点．（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．三、（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）已知ｌｉｍｘ→∞ｘ＋ａｘ－ａ()ｘ＝９，求常数ａ．（２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ．７１９９０年真题（３）求曲线ｙ＝１１＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点．（４）计算∫ｌｎｘ（１－ｘ）２ｄｘ．（５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．四、（本题满分９分）在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．五、（本题满分９分）证明：当ｘ＞０时，有不等式ａｒｃｔａｎｘ＋１ｘ＞π２．六、（本题满分９分）设ｆ（ｘ）＝∫ｘ１ｌｎｔ１＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ１ｘ()．七、（本题满分９分）过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．八、（本题满分９分）求微分方程ｙ″＋４ｙ′＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数．８历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９１年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋３－ｘ），则ｄｙ＝．（２）曲线ｙ＝