动点的轨迹问题

动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。6.转移法：如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211yxByxA并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。二、注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方ttgytfx，yx，F来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。【典型例题选讲】一、直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数)0(，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则222ONMOMN。设),(yxM，则2222)2(1yxyx化简得0)41(4))(1(22222xyx（1）当1时，方程为45x，表示一条直线。（2）当1时，方程化为2222222)1(31)12(yx表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式--如图，圆1O与圆2O的半径都是1，421OO，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PNPM2．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以21OO的中点O为原点，21OO所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则)0,2(),0,2(21OO由已知PNPM2可得：222PNPM因为两圆的半径均为1，所以)1(212221POPO设),(yxP，则]1)2[(21)2(222yxx，即33)6(22yxPO1O2NMyxQMNO所以所求轨迹方程为：33)6(22yx（或031222xyx）评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：2218172xy练习：已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。解：由中垂线知，PMPA故10OMPOPMPOPA，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为1251625)3(22yx评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。三、代入法题型：例3如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直线x+y=2，故111xxyy，即x-y+y1-x1=0②由①②解方程组得12321,1212311yxyyxx,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0lO'PEDCBA练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4经过抛物线y2=2p(x+2p)(p0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为)2,22(2kppkp，由于AC与AB垂直，则AC的方程为)2(1pxky，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为)2,22(2kpppk，又M为BC中点，设M（x,y）,则kpkpyppkkpx222，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。巩固与提高：1〉在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由2ykxyx解得A（k，k2）∵OA⊥OB，∴OB：1yxk由21yxkyx解得B211,kk设△AOB的重心G（x，y），则22113113xkkykk消去参数k得重心G的轨迹方程为2233yx解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx（1）∵OA⊥OB∴1OBOAkk,即12121yyxx，……(2)又点A，B在抛物线上，有222211,xyxy，代入（2）化简得121xx∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为G的轨迹方程为3232xy。2〉如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为))((,(),(0121120xxxxxx和，∴切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP的方程为：;02211xyxx解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。OGBAyxPl3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。五、交轨法与几何法题型求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5抛物线)0(42ppxy的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。（考例5）解1（交轨法）：点A、B在抛物线)0(42ppxy上，设A（),42AAypy，B（),42BBypy所以kOA=Ayp4kOB=Byp4,由OA垂直OB得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得)4(44222pyxpypyyyyyABABAA，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程为xPyyyBA4②由①②消去得yA+yB即得0422pxyx，即得2224)2(pypx。所以点M的轨迹方程为2224)2(pypx，其轨迹是以)0,2(p为圆心，半径为p2的圆,除去点（0，0）。说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数