正弦定理教案全

11.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是cba,,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。二、讲授新课：探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理：sinA=casinB=cbsinC=1即c=sinsinsinabcABC.探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有sinsinCDaBbA,则sinsinabAB.同理，sinsinacAC（思考如何作高？），从而sinsinsinabcABC.探究三：你能用其他方法证明吗？1．证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=111sinsinsin222abCacBbcA.两边同除以12abc即得：sinaA=sinbB=sincC.2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴2sinsinaaCDRAD，同理sinbB=2R，sincC＝2R.3．证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j得…..正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC=2R[理解定理]1公式的变形：abcOBCADCRcBRbARasin2,sin2,sin2)1(CBAcbasin:sin:sin::)3(,2sin,2sin,2sin)2(RcCRbBRaABbCcCcAaBbAasinsin,sinsin,sinsin)4(22.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:①CBA②CBACBAsin)cos(,sin)sin(③CabSabcsin21三、教学例题：例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边解：0030,45,10CAc∴00105)(180CAB由CcAasinsin得21030sin45sin10sinsin00CAca由CcBbsinsin得256575sin2030sin105sin10sinsin000CBcb评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.例2CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,1800或CC1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb练习：P4——1.2题例3在CAacBbABC,,1,60,30和求中，3解：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,,60,BCCBCBcb为锐角，∴222cba【变式】02,135,3,ABCaAbB中，求四、小结：五、课后作业1奎屯王新敞新疆在△ABC中，kCcBbAasinsinsin,则k为(2A)A奎屯王新敞新疆2RB奎屯王新敞新疆RC奎屯王新敞新疆4RD奎屯王新敞新疆R21(R为△ABC外接圆半径)2奎屯王新敞新疆在ABC中，已知角334,2245bcB，，则角A的值是A.15B.75C.105D.75或153、在△ABC中,cbaBA::,60,30则若2:3:14、在ABC中，若14,6760abB，，则A=。5、在△ABC中，120,30,6BAAB,则三角形ABC的面积为395、在ABC中，已知45,2,3Bba，解三角形。六、心得反思41.1.1正弦定理学案学习目标：①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。预习自测1.正弦定理的数学表达式2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)(2)问题引入：1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？2、在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是cba,,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。二合作探究：1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？2、探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）3、探究三：你能用其他方法证明吗？4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：5三例题讲解例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000例2CBbaAcABC,,2,45,60和求中，例3在CAacBbABC,,1,60,30和求中，【变式】02,135,3,ABCaAbB中，求思考：通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？四课堂练习：必修5课本P4T1、2五课后作业：1奎屯王新敞新疆在△ABC中，kCcBbAasinsinsin,则k为()A奎屯王新敞新疆2RB奎屯王新敞新疆RC奎屯王新敞新疆4RD奎屯王新敞新疆R21(R为△ABC外接圆半径)2奎屯王新敞新疆△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A奎屯王新敞新疆B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆等边三角形D奎屯王新敞新疆等腰三角形3在ABC中，已知角334,2245bcB，，则角A的值是A.15B.75C.105D.75或154、在ABC中，若14,6760abB，，则A=。5、在ABC中，已知45,2,3Bba，解三角形。六心得反思61．1．2解三角形的进一步讨论教学目标掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在ABC中，已知22acm，25bcm，0133A，解三角形。（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。Ⅱ.讲授新课[探索研究]探究一．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB，从而ACacsinsin1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；3.如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？7三例题讲解例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a＝20，b＝28，A＝120°.无解(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30°；两解[随堂练习1]（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x）例2.在ABC中,已知,coscoscosabcABC判断ABC的形状．解：令sinakA，由正弦定理，得sinakA，sinbkB，sinckC．代入已知条件，得sinsinsincoscoscosABCABC，即tantantanABC．又A，B，C(0,)，所以ABC，从而ABC为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．[随堂练习2]1.△ABC中，CBA222sinsinsin，则△ABC为（A）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形2.已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形Ⅳ.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；Ⅴ.课后作业1.根据下列条件，判断解三角形的情况60,20,18)4(30,16,8)3(120,15,12)2(45,16,14)1(BcbAbaAcaAba、、、、82在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A－223B223C－63D633已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.。，，求，，解这个三角形）（解这个三角形。和边，求角求边求边）（根据条件解三角形：CAaBbcCcbBabcCBAbacabBAbaCAc,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.,,12,120,30)2(.,,30,45,1014六心得反思91.1.2解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；2.三角形各种形状的判断方法；【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。一、情景问题：我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：在ABC中，已知133,25,22Acmbcma，解三角形。二、探索研究：探究一．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况结论：探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a＝20，b＝28，A＝120°.无解(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30°；两解[变式练习1]（1）在ABC中，已知80a，100b，045