函数一致连续证明的方法和技巧总结

..学士学位论文Bachelor’sThesis编号2013110254研究类型理论研究分类号O17论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法作者姓名胡辉学号2009111010254所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日..湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法外文题目：UniformlyContinuousFunctionProofofCertainSkillsandMethods学生姓名胡辉学生学号20091111010254院系专业数学与统计学院数学与应用数学学生班级0902班学生承诺我承诺在学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年月日..目录1.前言....................................................................12.函数一致连续............................................................22.1函数一致连续的定义.................................................22.2证明函数一致连续的相关真命题......................................22.3函数一致连续相关定理..............................................32.3.1函数)(xf在区间上一致连续的充分条件..............................32.3.2函数)(xf在区间上一致连续的充要条件..............................62.4应用举例..........................................................83.函数非一致连续.........................................................123.1函数非一致连续的定义..............................................133.3应用举例.........................................................144.参考文献...............................................................165.致谢...................................................................17..关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。事实表明该流程图对函数一致连续证明是非常有效的。相信这篇文章对大家证明函数一致连续性具很大的指导作用。关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题中图分类号:O17UniformlyContinuousFunctionProofofCertainSkillsandMethodsHuHui(Tutor：XuShaoyuan)(CollegeofMathematicsandStatistics,HubeiNormaUniversity,Huangshi,Hubei,435002)Abstract:Inthispaper,severalconclusionsontheproofoftheUniformContinuityFunctionTheorem,andacontinuousfunctionproofgivenflowchartofthemethodofproof,withtheflowcharttheUniformContinuityFunctioncardgivesaveryclearideas,throughexamplesexplaintheflowcharttouse.Thefactthatthisflowchartisveryefficientonthenumberofuniformlycontinuousproof.Ibelievethisarticleweprovethatthefunctioncontinuitywiththegreatguide.Keywords：Function;consistentcontinuity;propositionsandtheorems;flowchart;example..关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论，并举例说明其应用。这对证明函数的一直连续性具有一定的指导作用，函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一，大多数学分析教材对这方面的讨论较少，学生对一直连续性证明的掌握往往不够，单从定义出发证明函数的一直连续性又较困难，因此本文给出了几个证明函数一致连续的方法，并举例说明其应用，以供读者参考。本文综合了很多网上的资料以及很多相关有关函数一致连续的书籍，首先是给出了函数一致连续的定义，用,语言阐述了我们在大学数学分析中所学到的函数一致连续的概念，并给出了有关函数一致连续证明的命题和定理，总结了函数一致连续的充分条件和充要条件，并给出了函数非一致连续证明的充要条件，然后是给出了证明函数一致连续的程序流程图，仔细地分析了各类函数是否一致连续，并给出了相关证明的技巧。在给出证明技巧以后，我又总结了各种证明技巧的典型例题，给出例题的同时，给出了证明的各种思路和技巧，分不同的方法和思路给出了证明，在证明过程中先给出证明思路，然后给出了证明过程，为读者可以提供很清晰的函数一致连续的证明技巧。最后，我觉得函数一致连续的证明，一切都是源自于一致连续的定义，在理解函数一致连续性的定义的过程中我们才能很清晰明了的得出其是否符合一致连续性的性质。..2.函数一致连续2.1函数一致连续的定义设)(xf为定义在区间I上的函数，若对任给的0，存在0)(，使得对任何',xxI，只要'xx，就有(')()fxfx，则称函数)(xf在区间I上一致连续.2.2证明函数一致连续的相关真命题命题2.2.1设)(xf在区间I上有有界导数，则)(xf在区间I上一致连续.命题2.2.2设)(xf为连续的周期函数，则)(xf一致连续.命题2.2.3设)(xf在有限开区间),(ba上连续，则)(xf在),(ba上一致连续的充要条件是)(limxfax及)(limxfbx存在.对于区间),[ba和区间],(ba也有类似的结果.证明：充分性：由)(xf在有限开区间),(ba上连续，有对任给的0，存在正数0，'),,(,'xxbaxx，有(')()fxfx.特别的，当),(,'aaxx时，有(')()fxfx.根据柯西收敛准则知，)(limxfax存在.同理可证)(limxfbx存在.必要性：因为)(limxfax与)(limxfbx存在，令lim(),()(),(,)lim(),xaxbfxxaFxfxxabfxxb)(xF在],[ba上连续，从而)(xF在],[ba上一致连续，因此)(xf在),(ba上一致连续.推论1函数)(xf在],(ba内一致连续的充要条件是)(xf在],(ba上连续且)(limxfax存在...推论2函数)(xf在),[ba由一致连续的充要条件：)(xf在),[ba内连续，且)(limxfbx存在.命题2.2.4若)(xf在),[a上连续，且Axfx)(lim（有限），则在),[a上一致连续.证明因为Axfx)(lim，则对任给的0，存在正数aM，只要',xxM，就有(')()fxfx.又因为)(xf在]1,[Ma上连续，则)(xf在]1,[Ma上一致连续，即对上述0，存在0，对任何',[,1],'xxaMxx，有(')()fxfx.于是对任何',[,)xxa，只要'xx或',xxM，就有(')()fxfx，所以)(xf在),[a上一致连续.对于区间],(a和),(也有类似的结果，对于区间),(a和),(a可以用命题3和命题4判别一致连续性.命题2.2.5设区间1I的右端点为1Ic，区间2I左端点也为2Ic，若)(xf分别在区间1I和2I上一致连续，则)(xf在21II上也一致连续.命题2.2.6设)(xf在),[a上可导，且Axfx)(lim，则)(xf在),[a上一致连续的充要条件A为有限数。对于],(a和),(也有类似的结果.2.3函数一致连续相关定理2.3.1函数)(xf在区间上一致连续的充分条件定理2.3.1.1若)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf在],[ba上一致连续.定理2.3.1.2设)(xf在),[a上连续，)(xg在),[a上一致连续，且lim[()()]0xgxfx，则)(xf在),[a上一致连续.证明：因为lim[()()]0xgxfx，则对任给的0，存在正数aM，当Mx时，有3)()(xfxg.又因为)(xg在),[a上一致连续，则对上述0，存在..01，只要1'xx，就有(')()3gxgx，因此对任何',[,)xxa，',xxM，'xx，有:)()'(xfxf)()()()'()'()'(xfxgxgxgxgxf，而)(xf在闭区间]1,[Ma上一致连续.即对上述02，只要',[,1]xxaM，2'xx，就有(')()fxfx，取=},,1max{21，则当',[,)xxa，'xx时，有(')()fxfx，所以)(xf在),[a上一致连续.定理2.3.1.3设函数)(xf在区间I上可导，其导数'()fx在区间I上有界，则)(xf在区间I上一致连续.证明：因为)('xf在区间I上有界，则存在正数M，对任意Ix，有Mxf)('.对任给的0，取0Mn，对任何',.xxI只要'xx，则(')()fxfx'()'fcxxMM，其中c在'xx与之间，所以)(xf在区间I上一致连续.定理2.3.1.4设函数在),(内一致连续的充分条件：)(xf在),(内连续，且)(lim)(limxfxfxx和存在且有限.证明：（1）先证)(xf在),[a上一致连续.因为Axfx)(lim（有限），则对任给的0，存在正数aN，使得对任意的',xxN，就有(')()fxfx.又因为)(xf在]1,[Na上连续，则)(xf在]1,[Na上一致连续，即对上述0，存在0，对任何',[,1],'xxaNxx，有('