高等数学及建模分析-高级版

高等数学与数学建模赵新超教材与成绩构成姜启源等，《数学模型》，高等教育出版社平时成绩：40％(20+20)；期末成绩：60％北京邮电大学理学院31:重要公式22sin,2nnRAnnnRAn2sin2lim2nnRn2sin2lim21sinlim0xxx.2R例.用圆内接正多边形面积求圆的面积。R北京邮电大学理学院42:计算机如何计算导数导数的数学定义计算机如何实现导数的计算()()0limfxhfxhh()()'()fxhfxhfx(1)()()'()fxfxhhfx(2)(/2)(/2)'()fxhfxhhfx(3)北京邮电大学理学院5计算精度分析'2''2()()()/2()()fxhfxhfxohfxh'()()()fxhfxhxf'()()fxoh()()''()()()fxfxhhfxfxoh(/2)(/2)''2()()()fxhfxhhfxfxoh北京邮电大学理学院60(),2fxxx步长h公式1误差公式2误差公式3误差210.20.10.020.010.0020.0010.0002课后练习:用三个近似公式计算导数(1)观察与准确值的距离差距大小变化;(2)观察结果,有何规律?北京邮电大学理学院73:饮料瓶口大小与曲率(3.7)镜头1:电影中英雄用海碗喝酒时,老觉着喝的没有洒的多(很可惜^-^)镜头2:大家日常生活中用矿泉水瓶喝水时很少洒水吧?比如《天龙八部》中郭峰与段誉斗酒,《水浒传》中武松上景阳冈除非你被别人逗笑！？北京邮电大学理学院80limsKs1R曲率章节例题解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲程度愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲程度愈小.分析喝酒/水的例子经验:矿泉水瓶喝水不洒水,而大口径容器喝水易洒水由上例得出如下结论:(1)圆口容器直径越小,曲率越大,越方便于人们饮用,这估计也是矿泉水瓶口没有设计成广口瓶的原因;(2)圆口容器直径越大,曲率越小,越不方便于人们饮用,不知道这是不是农夫果园饮料新年换新装(大口换小口)的原因求半径为R的圆上任意点处的曲率.北京邮电大学理学院9下面建立上嘴唇的数学模型,求出嘴唇所在曲线的曲率,并用具体数据验证我们的直观.模型假设:嘴唇看作一段圆弧;模型数据:上嘴唇弧线长6.5cm,两嘴角间的弦长4.5cm,弧顶点到弦长的距离1cm;建模建立:设嘴唇所在圆半径为r,则在直交三角形中由勾股定理得2224.5(1)()2rr解出r=3.0313cm≈3cm,10.33Kr因此嘴所在曲线的曲率北京邮电大学理学院10模型检验:常见容器直径(单位:cm)容器直径(cm)喝水感觉500ml农夫山泉矿泉水2.5很好4l桶农夫山泉装矿泉水3好华旗果茶瓶装3.2好太空杯口4.8还行饭碗13.2凑合碟子18不舒服方形碟子直边∞肯定洒水注:这些结果仅仅是个人感受北京邮电大学理学院114:无穷区间上的积分加百利的号角(Gabriel’sHorn)在西方基督教的教义中，加百利(Gabriel)是上帝身边的七大天使之一，专职安慰人心与传送福音。加百利使用一个喇叭状且无限延伸狭长的号角来传递上帝的意志，大力士海格利斯（Hercules）曾被要求完成十二项不可能的任务,任务之一是将其父王宙斯的酒瓶内部表面涂上一层釉彩。在古希腊的传说中，加百利的号角就是天王宙斯的酒瓶。海格利斯的任务看似无法完成。?加百利的号角是一个无限延伸的狭长的几何体北京邮电大学理学院12数学问题Gabriel’shorn的几何图示加百利的号角是由一个xOy平面上无限延伸的平面图形绕x轴旋转而成的几何体。1yx假设该平面图形是由曲线,直线x=1以及x轴围成沿x轴正项无限延伸的无界图形。旋转得到的几何体下图所示。北京邮电大学理学院1311112lim2lim2ln.Sdxdxxx计算加百利号角的表面积加百利号角的表面积是无限大的。也就是说海格利斯的怀疑是合理的，酒瓶的内表面是无限大，恐怕没有足够的釉料让他完成这项任务。号角悖论海格利斯完成了任务？但是，细心的海格利斯发现加百利号角作为父王的酒瓶使用时，盛载的酒量很有限。北京邮电大学理学院14221111limlim.Vdxdxxx计算加百利号角的体积只要准备体积为的釉料注入号角，即酒瓶中，再将其倒出，釉料即可涂满整个酒瓶的内表面。存在一个体积有限但是表面积无限的几何体聪明的海格利斯很轻松地完成了这个看来无法完成的任务：北京邮电大学理学院155:级数收敛下面看有关级数敛散性的实际例子追赶问题：问题1.追赶甲，前进，乙以速度处以速度设甲在乙前方21vvs?有人提出了疑问乙就追赶上甲。显然，经过时间,,1212vvsTvv当乙前进了的路程到达甲原来所在位置时，s11112,甲又前进了路程vsvtsv12即追赶了时间时，stv乙甲s北京邮电大学理学院161而当乙又追赶了路程时，s212122,甲又前进了路程vsvtsv1222即追赶了时间时，vstvv这样一直下去,乙总是差一点追赶上甲。北京邮电大学理学院17级数的敛散性来说明事实上，可以通过几何1122乙追赶第段路花费的时间为，nnvsntvv12此时甲乙相距，nnvssv12/(1)这是公比的几何级数，qvv21221/,1/因此总时间为svsvvvv21即乙经过时间追赶上甲。svv乙追上甲所花费的总时间是111122无穷级数，nnnnvstvv北京邮电大学理学院18问题2:爬金箍棒的蚂蚁这天孙悟空闲暇无事，他把金箍棒变成了10厘米长的小棒立在地面上。这时一只蚂蚁来到棒的底部沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”眼看着越来越高，而那只蚂蚁似乎什么都没发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。只听他叫了一声“变”,地上的棒应声长了起来，故事:北京邮电大学理学院191如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升厘米。1在孙悟空叫变时，已经爬至高厘米处，100即第一分钟末，高厘米，第二分钟末，高2厘米，30第三分钟末，高厘米，每个时刻都是匀速地变长，110每经分钟，棒就增长厘米，此后棒的各部分请问最终蚂蚁能爬到顶端吗？由于爬行速度不变而棒的长度不停的变长，是永远不可能到达顶端的。标准答案北京邮电大学理学院20正在爬的和已经爬的部分都要变长。这样他就忽略了一个事实：11.10第一分钟蚂蚁爬了厘米，为棒高的A1B1110由于棒的各部分均匀变长，因而，每时刻尚未爬的、201到第二分钟末，棒高伸长为厘米，而爬过的厘米也变111010因而仍然是棒高的，且以后始终保持为。2为厘米，如果第一分钟末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分没有变长，120则第二分钟爬过的距离为，北京邮电大学理学院21但实际上新爬过的部分也在变长，因而第二分钟爬过的120始终大于棒高的。120距离实际大于，130同理,第三分钟爬过距离将大于，,若棒的高为则第分钟末，爬过的高度将大于Ln111(1)1023Ln111,11023于是问题化为是否存在使得nn11这当然可以做到。因为级数是发散的.nn并且这一小段在以后棒变高的过程中北京邮电大学理学院226:微分方程14C的蜕变北京邮电大学理学院23碳定年代法（Carbondating）根据Carbon-14衰减量来测定生物的死亡年代考古学北京邮电大学理学院24死亡生物体体内的含量14C根据原子物理学理论，14C在t时刻的蜕变速度与该时刻()xt满足如下的微分方程：()xt14C设在t时刻生物体中的含量为，14C.dxdt的蜕变速度为则t时刻生物体中的含量成正比。14C的含量为设生物体死亡时（t=0）其体内0,x0.(0)dxkxdtxx0k为比例常数特解:0()ktxtxe北京邮电大学理学院25的半衰期与生物死亡时间的估算14C0ln.ln2xTtx特解:0()ktxtxe0()2xTx14C设的半衰期为T，即我们可以利用方程的特解推导出估算生物死亡的时间。ln2kT0()2xTx将代入特解中得到ln20().tTxtxe故因此，解得死亡生物尸体内的存量与死亡时间t的关系为14C北京邮电大学理学院26由于0x和x不便测量，因此，常改用下面的办法求时间t：0(0)(0)()()xxkxxxtkxt由于14C只要测得生物体在死前所含的的平均原子蜕变速度即可根据（*）式估算出生物体的死亡时间。与当前时刻14C的平均原子蜕变速度，代入上式0ln,ln2xTtx得到(0)()xxt(0)ln.ln2()xTtxt（*）0.(0)dxkxdtxx北京邮电大学理学院2714C573038.37ln2095ln229.78t(0)ln.ln2()xTtxt马王堆一号墓大约是2100多年前的汉墓，利苍的妻子葬于公元前123年左右.马王堆汉墓遗址蜕变模型在考古学中的应用蜕变速度为29.78次/min.在1972年出土时，测得出土木炭标本中14C的平均原子与新砍伐木材烧成的木炭中的平均原子蜕变速度相同，为38.37次/min.假设人在死亡前体内所含的14C的平均原子蜕变速度将它们代入（*）式，可以计算得：已知14C的半衰期约为5730年，北京邮电大学理学院28二阶微分方程例悬链线方程设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索,两端分别被固定在两个不同的位置,它在重力作用下处于平衡状态.试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.背景这是历史上一个著名的力学问题,它最初是由詹姆斯.伯努利在1690年提出的.在此之前,伽里略曾关注过该问题,并猜想这条曲线是抛物线,但后来发现是不对的,最后是由约翰.伯努利解决的.莱布尼兹将其命名为悬链线,它在工程中有广泛的应用.北京邮电大学理学院29解如图,建立坐标系HTgsTcos,sin设绳索的最低点为D,取y轴通过点D铅直向上,x轴水平向右,且点D到原点O的距离为一定值a.由题意,曲线在点D处的切线斜率为零.设M(x,y)为绳索上任一点,DM的弧长为s,绳索的线密度为ρ,则.tanHgs20tan,1,将代入上式并求导得xysydx,112yay.,0)0(,)0(gHayay),(yxfy北京邮电大学理学院30求解,112yay.0)0(,)0(yay(),,令则于是原方程化为ypxypcosh解得悬链线方程为xyaa.21cosh)(211cosh22222xaayaxayxoxaax近似于抛物线悬链线方程知当很小时，由注211ppa北京邮电大学理学院31将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里.问这种处理方法是否安全?安全隐患:(1)圆桶密封性;(2)圆桶破裂实验结论:(1)圆桶所受阻力与圆桶的下沉方位无关,与下沉速度成正比,比例系数k=0.12;所用常数:圆桶重量:W=239.456Kg海水浮力:1025.94kg/m3圆桶体积:V=0.208m3例核废料的处理问题(2)圆桶速度超过12.2米时,圆桶会因碰撞而破裂北京邮电大学理学院32解如图,建立坐标系.0)0()0(,0)0(vyy圆桶所受的力F=W－B－D,,22dtydmdtdykBWxOyy(,)yfyy根据牛顿第二定律F=ma,得阻力D=kv=0.12v.浮力B=1025.94×V=213.396,北京邮电大学理学院33求解(),,令则于是原方程化为yvxyv),1(tmkekBWv解得.0)0(,0)0(y