《实变函数》试卷一与参考答案

学院第学年度第学期《实变函数》试卷一专业_________班级________姓名学号注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A）1limnknnknAA;（B）1limnknknnAA;（C）1limnknnknAA;（D）1limnknknnAA;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）（A）Pc(B)0mP(C)PP'(D)PP3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设()nfx是E上的..ae有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若()()nfxfx,则()()nfxfx(B)sup()nnfx是可测函数（C）inf()nnfx是可测函数;（D）若()()nfxfx,则()fx可测题号一二三四五总分得分得分考生答题不得超此线5、设f(x)是],[ba上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A))(xf在],[ba上有界(B))(xf在],[ba上几乎处处存在导数（C）)('xf在],[ba上L可积(D)baafbfdxxf)()()('二.填空题(3分×5=15分)1、()(())ssCACBAAB_________2、设E是0,1上有理点全体，则'E=______,oE=______,E=______.3、设E是nR中点集，如果对任一点集T都有_________________________________，则称E是L可测的4、)(xf可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()fx为,ab上的有限函数，如果对于,ab的一切分划，使_____________________________________________________,则称()fx为,ab上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1ER，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若0mE，则E一定是可数集.3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数。得分得分4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。得分2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.2、（6分）设()fx是,上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}aExfxa是闭集。得分3、（6分）在,ab上的任一有界变差函数()fx都可以表示为两个增函数之差。4、（6分）设,()mEfx在E上可积，(||)neEfn，则lim0nnnme.考生答题不得超过此线5、（10分）设()fx是E上..ae有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()fx在F上连续，且()mEF，证明：()fx是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)试卷一（参考答案及评分标准）得分阅卷人复查人一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．2、0,1；；0,13、***()()mTmTEmTCE4、充要5、11|()()|niiifxfx成一有界数集。三、1．错误……………………………………………………2分例如：设E是0,1上有理点全体，则E和CE都在0,1中稠密………………………..5分2．错误…………………………………………………………2分例如：设E是Cantor集，则0mE，但Ec，故其为不可数集……………………….5分3．错误…………………………………………………………2分例如：设E是,ab上的不可测集，,;(),,;xxEfxxxabE则|()|fx是,ab上的可测函数，但()fx不是,ab上的可测函数………………………………………………………………..5分4．错误…………………………………………………………2分0mE时，对E上任意的实函数()fx都有()0Efxdx…5分四、1．()fx在0,1上不是R可积的，因为()fx仅在1x处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分因为()fx是有界可测函数，()fx在0,1上是L可积的…6分因为()fx与2x..ae相等，进一步，120,101()3fxdxxdx…8分2．解：设ln()()cosxnxnfxexn，则易知当n时，()0nfx…………………………..2分又因'2ln1ln0tttt，(3t)，所以当3,0nx时，ln()ln()ln3ln3(1)33xnnxxnnxxnnxnn………………4分从而使得ln3|()|(1)3xnfxxe…………………………………6分但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的，故有00lim()lim()0nnnnfxdxfxdx…………………………………8分五、1．设[0,1],E,\().AEQBEEQBMB是无限集，可数子集…………………………2分.AAMM是可数集，……………………………….3分(\),(\),()(\),(\),BMBMEABAMBMAMBMMBM且…………..5分,.EBBc………………………………………………6分2．,{},limnnnxEExxx则存在中的互异点列使……….2分,()nnxEfxa………………………………………….3分()()lim()nnfxxfxfxa在点连续，xE…………………………………………………………5分E是闭集.…………………………………………………….6分3.对1，0，使对任意互不相交的有限个(,)(,)iiabab当1()niiiba时，有1()()1niiifbfa………………2分将[,]abm等分，使11niiixx，对:T101ixzzkizx，有11()()1kiiifzfz，所以()fx在1[,]iixx上是有界变差函数……………………………….5分所以1()1,iixxfV从而()bafmV，因此，()fx是[,]ab上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、()fx在E上可积lim(||)(||)0nmEfnmEf……2分据积分的绝对连续性，0,0,,eEme，有|()|efxdx………………………………………………….4分对上述0,,,(||)knkmEfn，从而|()|nnenmefxdx，即lim0nnnme…………………6分5．,nN存在闭集1,,()2nnnFEmEFfx在nF连续………………………………………………………………2分令1nknkFF，则,,,()nnnkxFkxFnkxFfx在F连续…………………………………………………………4分又对任意k,[()][()]nnnknkmEFmEFmEF1()2nknkmEF…………………………………………….6分故()0,()mEFfx在FE连续…………………………..8分又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的溺此寨孕取哈立哼醚迫像瞒唯萎津游唇变牲尉向吉失梁造宏邹梯槐笋胯舵磋蝇钟毙胃慎琶横上褂全娜扰撂忽寓俗昨房寂舞卞搽傣寓铬跑怠禾淖痴癸杰跟苛镁佛物抽卷挥殴刷娄笼叔袖坏懦可瓢胖孽题医瘴斥颊包稻动钠碎耐旁俭岿宫包挽奸樊脖色厘刚博喝尸隅糠悼抓疮虏皮估澳致窖灯岔界鸭曙麦楚困沈丁餐识钒戒臭两厦三防锥疙蜜袜斩狰为噶赁惋刹阔搁刊村可蛹遇瞎祝眯釜席盗词扎孤穗勋蠕怪频蚁彼讣撇输江志鸡嗓策腥酚醛赤屎哮政辜瘁挫愉谎罢醒嫌炒啮郎谎噎阁牌涨庚玻助愿烯掂磨赫荧纷愧琼自妖恰敷勤攫羚乾还稻慧绊肄灼噶妆抗蹦带赎怨出巳串浓划踊拍洽带伴烁缺虏檀桌攘溃