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2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学本卷满分200分,考试时间150分钟.参考公式:样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=1𝑛∑𝑖=1𝑛(xi-𝑥)2,其中𝑥=1𝑛∑𝑖=1𝑛xi.棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.棱锥的体积V=13Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.数学Ⅰ(共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2x3},则A∩B=.2.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线𝑥27-𝑦23=1的焦距是.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.5.函数y=√3-2𝑥-𝑥2的定义域是.6.下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+𝑎22=-3,S5=10,则a9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的右焦点,直线y=𝑏2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.11.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={𝑥+𝑎,-1≤𝑥0,|25-x|,0≤x1,其中a∈R.若f(-52)=f(92),则f(5a)的值是.12.已知实数x,y满足{𝑥-2𝑦+4≥0,2𝑥+𝑦-2≥0,3𝑥-𝑦-3≤0,则x2+y2的取值范围是.13.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=4,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-1,则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的值是.14.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC中,AC=6,cosB=45,C=π4.(1)求AB的长;(2)求cos(𝐴-π6)的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.17.(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得𝑇𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,求实数t的取值范围.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=12.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,b1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.20.(本小题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义ST=𝑎𝑡1+𝑎𝑡2+…+𝑎𝑡𝑘.例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:STak+1;(3)设C⊆U,D⊆U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD.数学Ⅱ(附加题,共40分)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点.求证:∠EDC=∠ABD.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=[120-2],矩阵B的逆矩阵B-1=[1-1202],求矩阵AB.C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为{𝑥=1+12t,𝑦=√32t(t为参数),椭圆C的参数方程为{𝑥=cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)设a0,|x-1|𝑎3,|y-2|𝑎3,求证:|2x+y-4|a.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.23.(本小题满分10分)(1)求7C63-4C74的值;(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)C𝑚𝑚+(m+2)C𝑚+1𝑚+(m+3)C𝑚+2𝑚+…+nC𝑛-1𝑚+(n+1)C𝑛𝑚=(m+1)C𝑛+2𝑚+2.2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题1.答案{-1,2}解析∵A={-1,2,3,6},B={x|-2x3},∴A∩B={-1,2}.2.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.3.答案2√10解析由𝑥27-𝑦23=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=√10,所以2c=2√10.4.答案0.1解析𝑥=4.7+4.8+5.1+5.4+5.55=5.1,则该组数据的方差s2=(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)25=0.1.5.答案[-3,1]解析若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.6.答案9解析代值计算,第一次运行后,a=5,b=7,第二次运行后,a=9,b=5,ab,从而输出的a值为9.7.答案56解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),……(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P=3036=56.8.答案20解析设等差数列{an}的公差为d,则由题设可得{𝑎1+(𝑎1+d)2=-3,5𝑎1+5×42d=10,解得{𝑑=3,𝑎1=-4,从而a9=a1+8d=20.解后反思数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.9.答案7解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关键.10.答案√63解析由已知条件易得B(-√32a,𝑏2),C(√32a,𝑏2),F(c,0),∴𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑐+√32a,-𝑏2),𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑐-√32a,-𝑏2),由∠BFC=90°,可得𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以(𝑐-√32a)(𝑐+√32a)+(-𝑏2)2=0,c2-34a2+14b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以𝑐2𝑎2=23,则e=𝑐𝑎=√63.思路分析圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.11.答案-25解析∵f(x)是周期为2的函数,∴f(-52)=f(-2-12)=f(-12),f(92)=f(4+12)=f(12),又∵f(-52)=f(92),所以f(-12)=f(12),即-12+a=110,解得a=35,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+35=-25.思路分析由f(x)的周期为2联想到周期函数的性质f(x+T)=f(x),把f(-52)、f(92)进行转化,进而利用f(-52)=f(92)求得a的值,最后求f(5a).12.答案[45,13]解析画出不等式组{𝑥-2𝑦+4≥0,2𝑥+𝑦-2≥0,3𝑥-𝑦-3≤0表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=(2√5)2=45,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为[45,13].解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.13.答案78解析由已知可得𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)-13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=16𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-56𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)-13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-56𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)-16(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)-16(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,因为𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=4,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴