人教版高中(必修一)数学1.2.1函数的的概念--ppt课件

1.2函数及其表示1.1.2函数的的概念1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．1．设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的，与x值对应的y值的范围叫做函数的．自学导引数集唯一确定定义域自变量值域2．函数的三要素是、和．3．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做，表示为．(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做，表示为．(3)满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做____，分别表示为．(4)实数集R用区间表示为．(5)把满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合分别表示为.定义域值域对应关系闭区间[a，b]开区间(a，b)[a，b)，(a，b]半闭区间半开(－∞，＋∞)[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)1．f(x)与f(a)的含义有什么不同？答：f(x)是自变量x的函数，在一般情况下是一个变量；f(a)表示当x＝a时所得的函数值，是一个常量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如：函数f(x)＝3x＋2，f(2)＝3×2＋2＝8.2．数集都能用区间表示吗？答：不一定．区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有的数集都能用区间表示，如{1,3,5,6}就不能用区间表示．自主探究预习测评1．已知函数f(x)＝x＋1x，则f(1)等于()A．1B．2C．3D．0解析：f(1)＝1＋11＝2.答案：B2．下列说法中正确的有()①y＝f(x)与y＝f(t)表示相等函数；②f(x)＝1与g(x)＝x0是相等函数；③定义域和值域都相同的两函数是相等函数．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与y＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．答案：B3．函数y＝x＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足x＋1≠03－2x0，即x32且x≠－1.答案：(－∞，－1)∪－1，324．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x取－1,0,1,2时，y＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}．答案：{－1，－2,2}1．函数概念的理解(1)函数的两个定义本质相同，传统定义是从变量的变化规律这个角度出发的，而近代定义是从集合的角度出发，事实上，函数就是从一个数集到另一个数集的对应关系．(2)从函数的定义还可以看出，一旦函数的定义域和对应关系确定，那么函数的值域就确定了．要点阐释(3)从函数的定义还可以看出，一个函数是由函数的定义域、对应关系、值域构成的，这三个元素称为函数的“三要素”，这是判断两个函数是否是同一个函数的标准，由(2)可知，在三个要素中，只要定义域和对应关系相同就可以说这两个函数是同一个函数，如果定义域不同或者对应关系不同，则两个函数不是相同函数，如：①y＝x与y＝x2，②y＝|x|与y＝(x)2，③y＝x－1与y＝x2－1x＋1，④y＝x0与y＝1都不是相同的函数．(4)函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明，函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”，在学习中，我们要细心体会这种关系，逐渐形成对函数本质的理解和对函数思想的自觉利用．例如判断下列图象是否是函数的图象：显然①②满足“一对一”或“多对一”，而③是“一对多”，故①②是函数的图象，而③不是．2．函数定义域的求法(1)求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化．(2)求函数的定义域，就是求使得函数的解析式有意义的自变量x的取值范围．当f(x)是整式时，其定义域为R.当f(x)是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．当f(x)是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合．对于x0，x不能为0，因为00无意义．3．函数的值域对于函数y＝f(x)(x∈A)，与x的值相对应的y值叫函数值．如：函数y＝x2＋5x＋3，当x＝3时，y＝32＋5×3＋3＝27叫做x＝3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域．函数的值域是由对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合．关于求函数值域问题，是可用初等手段解决的问题，只要依据函数的相应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段来求得其解．4．区间的概念(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．5．关于无穷大的说明(1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．题型一函数的概念【例1】下列对应是否是从A到B的函数？①A＝R，B＝{x|x0}，f：x→|x|；②A＝Z，B＝N，f：A→B，平方；③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根；④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根；⑤A＝[－2,2]，B＝[－3,3]，f：A→B，求立方．典例剖析解：本题详细分析见表：题号详细分析结论①A中的元素0在B中无元素和它对应，故不是函数不是②符合函数的定义是③A中的负数没有算术平方根，故B中无元素和它们对应不是④A中的每一个元素都有2个平方根，所以B中有2个元素和它对应，故不是函数不是⑤集合A中的一些元素，如2，立方后不在集合B中，所以在B中无元素和它对应不是点评：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．1．判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝1x≥00x0；(2)A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝1x；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1；(4)A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应关系如图．解：(1)(4)是函数，(2)(3)不是函数．(1)对于A中任意一个非负数在B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在B中都有唯一元素0与之对应，所以是函数．(2)集合A中的0元素在B中没有元素和它对应，故不是函数．(3)集合A中的0元素(或－1等等)，在B中没有元素和它对应，故不是函数．(4)集合A中的1和3在集合B中有唯一的－1与之对应，集合A中的2和4在集合B中有唯一的1与之对应，故是函数．题型二相同函数的判定【例2】下列各题中两个函数是否表示相等函数：(1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x，g(x)＝x2；(3)f(t)＝t，g(x)＝3x3；(4)f(x)＝x2－4x－2，g(x)＝x＋2.解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．(2)g(x)＝x2＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数．点评：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．2．判断下列各组函数是否为相等函数．(1)f(x)＝x＋3x－5x＋3，g(x)＝x－5；(2)f(x)＝2x＋1(x∈Z)，g(x)＝2x＋1(x∈R)；(3)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝x＋1－x－1x≥－1x－1.解：(1)(2)不是，(3)是．对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)，(2)中两组函数均不是相等函数；对于(3)，两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．题型三求函数的定义域【例3】求下列函数的定义域：(1)y＝x＋12x＋1－1－x；(2)y＝2x＋5＋1x－1；(3)y＝x2－1＋1－x2；(4)y＝11＋1x.解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠01－x≥0，即x≠－1x≤1，所以函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．(2)要使函数有意义，需满足2x＋5≥0x－1≠0，即x≥－52x≠1，∴原函数定义域为{x|x≥－52，且x≠1}．(3)要使函数有意义，需满足x2－1≥01－x2≥0，即x2≥1x2≤1，∴x2＝1，即x＝±1，∴原函数定义域为{1，－1}．(4)要使函数有意义，需满足x≠01＋1x≠0，即x≠0x＋1≠0.即x≠0且x≠－1，∴原函数定义域为{x|x≠0且x≠－1}．点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．3．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2－3x＋2；(2)f(x)＝3x－1＋1－2x＋4；(3)f(x)＝x＋10|x|－x.解：(1)由x2－3x＋2≠0，得x≠1，x≠2.∴f(x)＝6x2－3x＋2的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．(2)由3x－1≥01－2x≥0，得13≤x≤12.∴f(x)＝3x－1＋1－2x＋4的定义域是13，12.(3)由x＋1≠0|x|－x≠0，得x≠－1|x|≠x，∴x0且x≠－1，∴原函数的定义域为{x|x0且x≠－1}．错解：函数的定义域为R，即k2x2＋3kx＋1≠0对任意的实数x恒成立，∴Δ＝9k2－4k20，此时5k20，无解，∴k值不存在．误区解密因求函数定义域忽视对二次项系数的讨论而出错【例4】已知函数y＝2kx－8k2x2＋3kx＋1的定义域为R，求实数k的值．错因分析：本题忽视了k＝0的讨论，误认为f(x)＝k2x2＋3kx＋1一定是二次函数．(1)k＝0时，y＝－81＝－8，定义域为R，∴k＝0符合题意．(2)k≠0时，k20，∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k20，此时5k20，无解．综上，k＝0时函数y＝2kx－8k2x2＋3kx＋1的定义域为R.正解：问题转化为：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．纠错心得：求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数．本题中k2x2＋3kx＋1≠0应注意二次项系数k2的讨论，不可掉以轻心．1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．课堂总结2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的