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振 动 与 冲 击第２９卷第５期ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫＶｏｌ．２９Ｎｏ．５２０１０ 基于ＧＡＲＣＨ模型ＭＳＶＭ的轴承故障诊断方法基金项目：中国博士后科学基金（２００９０４５０１１９）；中国博士点新教师基金（２００９２３０４１２００１７）；黑龙江省博士后基金（ＬＢＨ－Ｚ０８２２７）收稿日期：２００９－０３－２５ 修改稿收到日期：２００９－０６－１８第一作者陶新民男，博士，副教授，１９７３年生陶新民１，徐 晶２，杨立标１，刘 玉１（１．哈尔滨工程大学信息与通信工程学院、哈尔滨 １５０００１；２．黑龙江科技学院数力系，哈尔滨 １５００２７） 摘 要：针对振动信号因非平稳性导致自回归（ＡＲ）模型无法有效描述信号特征的不足，提出一种基于广义自回归条件异方差（ＧＡＲＣＨ）模型多类支持向量机（ＭＳＶＭ）的故障诊断方法。该方法首先利用ＧＡＲＣＨ模型拟合各种故障信号，将所得模型参数作为故障诊断特征，以ＭＳＶＭ作为故障诊断方法。试验结果验证了ＧＡＲＣＨ模型方法的可行性和有效性，同时将该方法同基于ＡＲ模型的方法及其改进方法进行比较，结果表明该方法在诊断率及诊断时间上都有明显提高。关键词：故障诊断ＧＡＲＣＨ模型；多类支持向量机中图分类号：ＴＨ１７；ＴＰ３０６ 文献标识码：Ａ 在机器故障诊断技术中，利用振动信号对故障进行诊断是设备故障诊断方法中最有效、最常用的方法。机械设备故障诊断最初主要是从振动信号的时域提取一些特征参数，如信号的均值、均方值、峰值、峭度和歪度［１］等。之后，又发展到利用频域方法对信号特征参数的分析，其中最主要的方法就是能量谱包络分析法［２］。近年来，又发展到时频分析技术，如小波分析［３－４］和高阶谱特征［５］等。ＡＲ模型作为一种时间序列分析方法在很多领域都得到了广泛应用［６－９］。其中在故障诊断领域的应用可分为两种情况，一种是以ＡＲ模型实现信号现代谱分析的方法［６］，如Ｂｕｒｇ算法和Ｍａｒｐｌｅ算法。这种方法的缺点是计算功率谱所需要的样本较多（即使比传统ＦＦＴ方法少），计算量大且无法有效作为特征进行智能诊断。另一种方法是以ＡＲ模型的参数和误差为特征，利用模式识别的方法进行故障诊断［７－９］。这种方法因信号非平稳性导致ＡＲ模型的阶次增大，参数估计的计算复杂度高且参数估计精度易受采样样本大小的影响。虽然文献［９］提出利用ＥＭＤ和ＡＲ相结合的方法解决了原始信号非平稳性问题，但该方法对于波动特别大的时间序列，尤其是对于方差随时间变化的时间序列的拟合并不理想。为了解决以上问题，本文提出了一种基于ＧＡＲＣＨ模型的ＭＳＶＭ故障诊断方法。ＧＡＲＣＨ模型作为新的时间序列分析方法因能较好地处理非平稳以及方差随时间变化的时间序列，已初步应用在电价预测建模［１０，１１］、金融收益分析［１２］、图像识别［１３］及异常检测［１４，１５］等领域，并取得了较好效果。而在故障诊断领域的应用，国内外尚无相关文献报道。本文利用ＧＡＲＣＨ模型分析振动信号，并以模型参数作为诊断特征，以多类支持向量机［１６］作为故障诊断方法，采用受试者操作特性曲线（ＲＯＣ）作为分类器性能评测的方法，以适应故障诊断领域出现的数据不均衡情况。试验部分同基于ＡＲ模型的方法及文献［９］的方法比较，结果验证了本文方法的有效性，试验还进一步分析了不同窗口大小对诊断性能的影响。１ 时间序列的建模１１ 自回归移动平均模型（ＡＲＭＡ）自回归移动平均模型ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）通常用来预测平稳的时间序列，模型包括自回归项及滑动窗口项，如式（１）所示：ｙｔ＝ｃ＋∑ｐｉ＝１φｉｙｔ－ｉ＋∑ｑｉ＝１θｉεｔ－ｉ＋εｔ（１）式中：ｃ为常数；φｉ和θｉ分别为待估的自回归参数和移动平均参数；ｐ，ｑ分别为自回归和移动平均的阶数；εｔ为时刻ｔ的残差。当移动平均的阶数ｑ为零时，该模型就变成了自回归模型（ＡＲ）。ＡＲＭＡ模型的前提假设是模型残差的均值为零，方差为常数，并且残差彼此不相关。该假设在实际运用时不容易满足，故该模型的适用范围较窄。对于不满足以上条件的非平稳序列，可通过差分变换将其转化成平稳序列，然后采用ＡＲＭＡ建模，即ＡＲＩＭＡ建模。该模型只适合波动性较小的非平稳序列，对于波动很大的振动信号来说，同样不适用。另外，根据ＫｏｌｍｏｇｏｒｏｖＳｚｅｇｏ定理可知有限阶ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）可用高阶ＡＲ（ｐ）近似，且ＡＲ模型的阶次确定及参数估计都相对容易，因此工程上都是利用ＡＲ模型进行一维信号分析的。１２ 广义自回归条件异方差模型（ＧＡＲＣＨ）为了有效处理非平稳时间序列以及时间序列中存在方差随时间变化的情况，Ｅｎｇｌｅ提出了自回归条件异方差（ＡＲＣＨ）模型，为了降低ＡＲＣＨ模型的计算复杂度，Ｂｏｌｌｅｓｌｅｖ对此进行了改进［１３］，提出了广义自回归条件异方差模型（ＧＡＲＣＨ），以下简单介绍ＧＡＲＣＨ模型。时间序列Ｘｔ描述如下：Ｘｔ＝Ｅ｛ＸｔΨｔ－１｝＋εｔ（２）其中Ψｔ－１代表信号在时间ｔ－１的所有信息，εｔ代表残差。对残差建立描述方程：εｔ＝ｈ槡ｔｚｔ， ｚｔ～Ｎ（０，１）（３）ｈｔ＝α０＋∑ｐｉ＝１αｉε２ｔ－ｉ＋∑ｑｉ＝１βｊｈｔ－ｊ（４）式中：ｚｔ是均值为零，方差为１的随机变量；ｐ，ｑ分别为模型的阶数；αｉ和βｊ为模型的待估参数。为使条件方差ｈｔ＞０，要求αｉ和βｊ都大于０。同时为使模型是宽平稳的，αｉ和βｊ还需满足条件：∑ｉαｉ＋∑ｊβｊ＜１（５）这意味着条件方差有限，波动是平稳过程；条件方差ｈｔ可以理解为过去所有残差的正加权平均，它不仅是滞后残差平方的线性函数，而且还是滞后条件方差的函数，当滞后条件方差的阶数ｑ＝０，该模型就变成了ＡＲＣＨ模型。公式（３），（４）描述了时刻ｔ处的变化量同过去时刻变化量之间的关系。根据这个模型，小的变化值的后面仍是小的变化值，大的变化值紧跟着大的变化值，这说明ＧＡＲＣＨ模型可以描述波动的聚集性和重尾分布特性。为了方便，在ＬｊｕｎｇＢｏｘＱｓｔａｔｉｓｔｉｃ显著性水平变化不大的情况下尽量选择较小的ｐ，ｑ，以使模型尽可能简单，一般选择ＧＡＲＣＨ（１，１）就可以很好地描述条件方差。本文采用最大似然原理对条件方差的参数α０，α１，β１进行估计，这里假设｛ｘ１，…，ｘＴ｝是由ＧＡＲＣＨ模型产生的信号，那么似然函数由如下公式定义：Ｌ（α０，α１，β１）＝ｆｘ２，…，ｘＴｘ１，ｈ１（ｘ２，…，ｘＴｘ１，ｈ１）（６）＝Ｔｊ＝２１２πｈ槡ｊｅｘｐ－ｘ２ｊ２ｈ()ｊ（７）这里ｈｔ由递归方法获得，对上式取对数得到对数似然函数为：ｌ（α０，α１，β１Ｘ，ｈ）＝－１２∑Ｔｊ＝２（ｌｏｇｈｊ＋ｘ２ｊ／ｈｊ）（８）其中：Ｘ＝（ｘ１，…，ｘＴ）Ｔ，ｈ＝（ｈ１，…，ｈＴ）Ｔ，限制条件为公式（５），模型的参数通过最大化公式（８）求出。２ 基于ＧＡＲＣＨ模型ＭＳＶＭ故障诊断方法２１ 基于ＧＡＲＣＨ模型特征的提取本文首先利用截断窗口对振动信号进行截断，得到截断信号为：ＸＷ＝｛ｘＮ＋１，…，ｘＮ＋Ｗ｝（９）这里，Ｗ为截断窗口的大小，Ｎ为截断信号的起始点。然后对ＸＷ利用ＧＡＲＣＨ（１，１）进行建模，假设均值为常数，模型如下：ＸＷ＝Ｃ＋εｔ（１０）ｈｔ＝α０＋α１ε２ｔ－１＋β１ｈｔ－１（１１）利用最大似然估计法得到模型参数集合为：（Ｃ，α０，α１，β１）（１２）依此作为故障诊断的特征实现故障诊断。２２ 基于多分类支持向量机（ＭＳＶＭ）的故障诊断支持向量机（ＳＶＭ）是在统计学习理论基础上发展起来的一种新型学习机器算法，它可以解决二值分类问题，适用于故障检测，若要对机械系统故障进行诊断，涉及到多值分类问题，则需使用多分类支持向量机（ＭＳＶＭ）。对于多分类（ｋ分类，ｋ＞２）问题，将ｋ类数据两两组合，共可构建Ｍ＝Ｃ２ｋ＝ｋ（ｋ－１）／２个训练集，分别使用ＳＶＭｓ二值分类算法对这Ｍ个训练集进行学习，产生Ｍ个分类器，当决定样本ｘ的类别时，采用投票策略，主要思想是：用所有的ｋ（ｋ－１）／２个分类器对ｘ进行分类，在第ｉ类和第ｊ类之间分类时，若决策函数ｆｉｊ（ｘ）＞０，该分类器判断ｘ属于ｉ类，则ｉ类的票数加１，否则ｊ类的票数加１。决策函数为：ｆｉｊ（ｘ）＝ｗｉｊＫ（ｘ）＋ｂｉｊ（１３）式中，ｗｉｊ为分类超平面的法向量，Ｋ（ｘ）为核函数，用以确定ｘ是第ｉ类还是第ｊ类的非线性函数，ｂｉｊ为超平面的位置。依此类推，经过所有ｋ（ｋ－１）／２个分类器决策函数判别后，将ｘ归为得票数最多的那一类。２．３ 基于ＧＡＲＣＨＭＳＶＭ故障诊断模型首先利用２．１中描述的方法提取各种轴承振动信号的特征，形成公式（１２）的特征训练集合，然后输入ＭＳＶＭ中进行训练，这里轴承振动信号分为４种：正常信号，内圈故障信号，外圈故障信号及滚动体故障信号。因此需要训练的支持向量机个数为４×３／２＝６个。新的样本利用训练好的ＭＳＶＭ进行判别，最终利用投票策略实现分类，具体模型如图１所示。图１ 基于ＧＡＲＣＨＭＳＶＭ的故障诊断模型Ｆｉｇ．１ＦａｕｌｔｄｉａｇｎｏｓｉｓｍｏｄｅｌｂａｓｅｄｏｎＧＡＲＣＨＭＳＶＭ２１振动与冲击 ２０１０年第２９卷２．４ 利用ＲＯＣ准则评价分类效果由于在故障诊断应用领域中，故障样本的信息不易获得，因此故障训练样本的数目相对于正常样本而言数量较少，容易产生数据的不均衡问题。在这种数据不均衡的情况下，传统基于准确率的分类器性能评测方法就会使分类结果倾向于数目较大的一类，造成ＳＶＭ算法形成的分类边界的偏离。基于ＲＯＣ分析的评测方法既能考虑类的不同分布情况，同时还考虑了不同种类的错误分类代价，因此，非常适合数据不均衡下的分类器性能评测，为此本文采用基于ＲＯＣ的评测方法来考察基于ＧＡＲＣＨ模型－ＭＳＶＭ故障诊断方法的分类效果。基于ＲＯＣ性能评估方法的模式识别系统的准确率（Ａｃｃｕｒａｃｙｒａｔｅ）定义为正确分类的测试实例个数占测试实例总数的比例，即ＡＣＲ＝正确检测的样本个数实际样本个数（阳性和非阳性）（１４）模式识别系统的检出率，即真阳性率（Ｔｒｕｅｐｏｓｉｔｉｖｅｒａｔｅ，ＴＰＲ）定义为：ＴＰＲ＝阳性个体中被检出为阳性的数目实际阳性数目（１５）表征着系统的检测灵敏度；系统的误检率，即假阳性率（Ｆａｌｓｅｐｏｓｉｔｉｖｅｒａｔｅ，ＦＰＲ）定义为：ＦＰＲ＝非阳性个体中被检出为阳性的数目实际非阳性个体数目（１６）反映了系统的判别特异性。ＲＯＣ曲线就是按照不同的截断点得到系统灵敏度的ＴＰＲ和反映系统特异性的ＦＰＲ，然后以ＦＰＲ作为横坐标，ＴＰＲ作为纵坐标画出ＲＯＣ曲线，曲线越凸说明模型诊断价值越高，同时计算曲线下的面积Ａ（０．５－１），利用这一综合统计量作定量分析，Ａ越接近１，诊断效果越好。不同ＲＯＣ曲线下面积是评价该系统优劣或分类器性能的量化指标。ＲＯＣ分析是把系统的灵敏度和特异度结合起来综合评价系统诊断准确度的一种非常有效的方法。３ 试验分析３１ 基于ＧＡＲＣＨ模型特征故障诊断的可行性试验本文中实验数据均来自美国ＣａｓｅＷｅｓｔｅｒｎＲｅｓｅｒｖｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ电气工程实验室［１７］。振动信号的收集来至安装在感应电机输出轴支撑轴承上端机壳上的振动加速度传感器。实验模拟了滚动轴承的７种状态：１正常运行状态；２外圈轻微故障；３内圈轻微故障；４滚动体轻微故障；５外圈严重故障；６内圈严重故障；７滚动体严重故障。其中，轻微和严重故障的故障尺寸大小分别为０．１８ｍｍ和０．３６ｍｍ。原始信号的时域波形如图２所示，从图２可以看出振动信号是非平稳的并且方差可变。为了验证振动信号具有条件方差，选取采样窗口大小为１０２４，均值为零，对正常样本计算其平方的自相关函数，如图３所示。结果表明该信号的自相关值不为零且下降缓慢，呈现出较好的非平稳特性及条件方差的性质，因此符合ＧＡＲＣＨ模型对信号建模的条件，这为本文建议的基于ＧＡＲＣＨ模型参数为特征的设计思想提供了理论和实践依据。图２ 原始振动信号时域波形图Ｆｉｇ．２Ｗａｖｅｏｆｏｒｉｇｉｎａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｉｇｎａｌｏｎｔｉｍｅｄｏｍａｉｎ图３