相似三角形专题讲义(二)

1相似三角形专题讲义【教学目标】认识相似图形及相似三角形【教学重点】相似三角形的性质及判定【教学难点】相似三角形的性质及判定的应用【教学内容】第1讲线段的比及平行线分线段成比例定理线段的比一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。二、比例尺：在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。三、成比例线段：1.比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。2.比例中项：如果（或acb2），则b叫做a、c的比例中项。四、比例的性质：1.比例的基本性质：如果dcba，那么bcad。2．更比性质：如果dcba，那么dbca。3．反比性质：如果dcba，那么cdab。4．合（分）比性质：如果dcba，那么abcdbd。5．等比性质：如果(0)acmbdnbdn……，那么acmabdnb……。【重难点高效突破】例1.（1）已知线段AB=2.5m，线段CD=400cm，则线段AB与CD的比为_________.（2）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该为多少？2例2.（1）在1:50000的地图上的A、B两地的距离是15cm，则A、B两地的实际距离是_______km.（2）在比例尺为1：n的某市地图上，规划出一块长5cm×2cm的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例3.（1）已知2acabcdbdbd，求和.（2）已知0,0,acabcdabcbbdabcd，且求证：例4.已知x∶y∶z=3∶4∶5，①求zyx的值；②若x+y+z=6，求x、y、z.例5.知一次函数y=kx-1中，比例系数k满足cabkabbcca，求直线y=kx-1与x轴交点坐标.【素质能力测试】A组一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知一矩形的长a=1.35m，宽b=60cm，则a∶b的值为（）(A)9∶400(B)9∶40(C)9∶4(D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（）A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,22cm,2cmC.2cm,5cm,3cm,1cmD.2cm,5cm,3cm,4cm3.如果线段a=4，b=16，c=8，那么a、b、c的第四比例项d为（）(A)8(B)16(C)24(D)324.已知32ba，则bba的值为（）(A)23(B)34(C)35(D)535.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm，它的实际长度约为（）3(A)0.226km(B)2.66km(C)26.6km(D)266km6.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（）(A)12米(B)11米(C)10米(D)9米7.已知点C是AB的黄金分割点(ACBC)，若AB=4cm，则AC的长为（）(A)(25–2)cm(B)(6-25)cm(C)(5–1)cm(D)(3-5)cm8.若D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，且ADAB=AEAC，那么下列各式中正确的是（）(A)ADDB=DEBC(B)ABAD=AEAC(C)DBEC=ABAC(D)ADDB=AEAC9.若222abbccakcab，且a+b+c≠0，则k的值为（）(A)-1(B)21(C)1(D)-12二、填空题(每小题3分，共30分)1.在x∶6=(5+x)∶2中的x=；2.若1089xyz,则______zyzyx.3.若a∶3=b∶4=c∶5,且a+b-c=6,则a=，b=，c=.4.已知x∶y∶z=3∶4∶5,且x+y+z=12,那么x=，y=，z=.5.若43fedcba,则______fdbeca.6.已知x∶4=y∶5=z∶6,则①x∶y∶z=,②(x+y)∶(y+z)=.7.若322yyx,则_____yx.8.已知，线段a=2cm，(23)ccm，则线段a、c的比例中项b是.三、解答题(每小题8分，共40分)1.已知0753zyx，求下列各式的值：(1)yzyx(2)zyxzyx35432.2.若ΔABC的三内角之比为1∶2∶3，求ΔABC的三边之比.3.已知a、b、c为ΔABC的三边，且a+b+c=60cm，a∶b∶c=3∶4∶5，求ΔABC的面积.4平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【知识点梳理】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。''''''BCBCABABACABACABBCABBCAB基本图形：1、平行线分线段成比例定理的基本图形：（A型、X型）EDCBAABCDEFEDCBA一招制胜：基本图形分离法，分离出基本图形，或者通过辅助线，构造基本图形！例题讲解：例1.如图，在ABC中，DEBC∥，且DBAE,若510ABAC，，求AE的长。EDCBA例2．已知：在ABC中，12AB，6AE，4EC，且ECAEDBAD（1）求AD的长；（2）求证：ACECABDBCF平移至过点ACF平移至过点D5例3如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.FEDCBA例4如下图，BD：DC=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.例5如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证：GF＝FB．课堂练习：平行线分线段成比例定理应用题型一、三角形中直接观察寻找基本图形解决问题1已知：如图，BCDE//，7:3:OCEO，求BCED,ABAE,DCAD2已知：在ABC中，BD平分ABC，与AC相交于点D;BCDE//，交AB于点E，9AE，12BC，求BE的长。AABCDEABCDEABEDCAEDBCOAEDBCOAEDBCAEDBCO63如图，在四边形ABCD中，AC与相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点、、、和.求证：4.已知：,求证：5、已知：CDAB//，为的中点，FGDE//.若,求EDFG6、已知：，求证：ABCDEFABCDEFEACBDFGlSRPNMODCBADBGACEF7题型二：三角形中构造基本图形解决问题核心辅助线：平行线1已知中，21BECE，21DBAD，求：FDCF2在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且2:3:DBAD，2:1:ECAE，直线ED和CB的延长线交于点F，求（1）FCFB:（2）FEFD:3如图（1），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且ABAE41，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则CDBC.（2）如图（2），已知ABC中，3:1:EBAE，1:2:DCBD，AD与CE相交于F，则FDAFFCEF的值为（）A.25B.1C.23D.2FACBDEFEDCBA8(1)MEDCBA(2)FEDCBA4.已知等腰直角ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CDCE,过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K．求证：LKBL．家庭作业1．（福州市中考题）已知a∶b＝3∶1且a＋b＝8，则a－b＝。2．（常州市中考题）已知nm=qp=32(n+q≠0)，则qnpm＝。3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为。4．线段a＝3，b＝4，c＝5则b，a，c的第四比例项是，b、c的比例中项是．ACBEDLK95.（杭州市中考题）已知a2=b1，则baba2的值（）A．-5B．5C．-4D．46．已知3a＝5b，下列各式的值在2与3之间的是（）A．abaB．bbaC．bbaD．baba7．已知：如图△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M，求证：（1）AMAN=OMON（2）BM=MC，且DN=NE8．如图，AC∥BD，AD和BC相交于点E，EF∥AC交AB于点F，且AC＝p，BD＝q，EF＝r，（1）试证P1+q1=r1,（2）图中AC＝20,BD＝80，试求EF的值。第2讲相似三角形的判定（1）【基础知识精讲】1.相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；2．相似三角形的判定判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．10AABCDEBCDE补充：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。3.寻找相似三角形的思路（1）、横向三点定形法，要证BEAB=EFBC，则证明（2）、纵向三点定形法：如要证BCAB=EFDE，则证明【重难点高效突破】例1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出ADAEBDCE吗？请说明理由。例2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.求证：（1）2ABBDBC；（2）2ADBDCD例3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则BDBEADAF吗？说说你的理由.例4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长.【素质能力测试】AEDBCABCDADCBEF11A组一、选择题1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（）A．3对B．4对C．5对D．6对2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．ACAEABADB．FBEACFCEC．BDADBCDED．CBCFABEF.3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A．ΔADE∽ΔAEFB.ΔECF∽ΔAEFC.ΔADE∽ΔECFD.ΔAEF∽ΔABF4.如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（）A.5∶2B.4∶1C.2∶1D.3∶2（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对(5题图)(6题图)(7题图)(8题图)6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（）A.2∶1B.1∶2C.2∶3D.3∶27.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A.ACAEABADB.FBEACFCEC.BDADBCDED.CBCFABEF二、填空题1.下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).2.如图ΔABC中，BC=a.(1)若AD1=31AB，AE1=31AC，则D1E1=；(2)若D1D2=31D1B，E1E2=31E1C，则D2E2=；(3)若D2D3=31D2B，E2E3=31E2C，则D3E3=；……(4)若Dn-1Dn=31Dn-1B，En-1En=31En-1C，则DnEn=.GFEDCBA123.已知：如图，ΔABC中，∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法，将