八年级四边形动点专题复习

动点问题探究最后一题并不可怕，更要有信心！图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题----动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。1、如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°DCBA(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。7430°P若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？若△PBC为等腰三角形则PB=BC∴7-t=4∴t=3如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(2)若点P从点A沿AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？PDCBA74射线小组合作交流讨论PDCBA74当BP=BC时（锐角)PDCBA7430°当CB=CP时∟E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74当BP=BC时（钝角）1、如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°PDCBA74当BP=BC时PDCBA7430°当CB=CP时∟E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74当BP=BC时(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？PDCBA74当BP=BC时(钝角)当BP=BC时(锐角)当CB=CP时当PB=PC时∴t=3或11或7+或/3时△PBC为等腰三角形34341.如图：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°DCBA（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段DP将线段BC三等分？PEPEDCBA解决动点问题的好助手：数形结合定相似比例线段构方程2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm,点P由点A出发，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时CBAP点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，DQ连接PQ，若设运动时间为t(s)(0＜t≤3)（1）当t为何值时，PQ∥BC?（1）当t为何值时，PQ∥BC?CBAPDQ2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s)(0＜t≤3)若PQ∥BC62105tt715tACAPABAQ则△AQP～△ABC(2)设△APQ的面积为y()，求y与t之间的函数关系。2cmM∟N2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s)(0＜t≤3)CBAPDQCBAPDQ∟NCBAPDQttytty4545442212∵△AQN∽△ABC1058tQNtQN544ABAQBCQN相似法2.(2)N∟CBAPDQtQN54490CABCRt中，在108AQQN1085tQN108SinA三角函数法2.(2)ttytty45454422122.(3)是否存在某一时刻t，使△APQ的面积与△ABC的面积比为7︰15？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。∴当t=2时，△APQ的面积与△ABC的面积比为7︰15246821ABCS157ABCSy241574542tt01452tt0)2)(7(tt2,(7tt舍去）CBAPDQ计算要仔细2.（4）连接DP,得到△QDP，那么是否存在某一时刻t，使得点D在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在，说明理由。∟G∵点D在线段PQ的中垂线上∴DQ=DP22DPDQ222)32(4tt0251232tt∴方程无解。即点D都不可能在线段QP的中垂线上。∵△=—15603、（2009中考）如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则△ＰＢＱ周长的最小值是-----cm(结果不取近似值）ADPBQC4.例1、如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D，以1cm/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB向点B以3厘米/秒的速度运动，P、Q分别从点A点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形2)t为何值时，等腰梯形？1t3t5.1)解：∵AD∥BC，∴只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，∵CQ=3t，AP=t∴3t=24-t∴t=6，∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形由题意，只要PQ=CD，PD≠QC，则四边形PQCD为等腰梯形┐F┌E过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F，则EF=PD，QE=FC=2)]24(3[212tt∴t=7，∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。5.2)解：455543.如图(1):在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=5cm,AB=4cm,CD=10cm,BE∥AD。如图(2):若整个△BEC从图(1)的位置出发，以1cm/s的速度沿射线CD方向平移，在△BEC平移的同时，点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，当△BEC的边BE与DA重合时，点P也随之停止运动。设运动时间为t(s)（0＜t≤4）EBADCB'E'P问题：连接,当t为何值时，△为直角三角形？'PDE'PEEDCBA62PE'B'CEDBAPE'B'CEDBADP=tDE'=4-t534tt534tt∴t=1.5∴t=2.545554EDCBA433小结：CBAPDQMCBAPDQPE'B'CEDBAPE'B'CEDBA2、平行4、最值问题（二次函数、两点之间线段最短）3、求面积5、平行四边形等腰梯形DCBA1、比例A6、直角三角形积累就是知识积累就是知识化动为静分类讨论数形结合构建函数模型、方程模型思路动点问题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量X、Y及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再解出。第三，确定自变量范围，画相应的图象。必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。小结：积累就是知识积累就是知识收获一：化动为静收获二：分类讨论收获三：数形结合收获四：构建函数模型、方程模型ABCDP已知：四边形ABCD是直角梯形,AD//BC,∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26,点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向D运动.设运动时间为t秒.小试牛刀1、当t=时，△PDC的面积等于84.2、当t=时，△PDC是等腰三角形.已知：四边形ABCD是直角梯形,AD//BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向D运动，点Q从C出发，以每秒3个单位长度的速度向B运动，P、Q同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为t秒。ABCDPQ探究学习（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？已知：四边形ABCD是直角梯形,AD//BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向D运动，点Q从C出发，以每秒3个单位长度的速度向B运动，P、Q同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为t秒。ABCDPQ探究学习（2）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？已知：四边形ABCD是直角梯形,AD//BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向D运动，点Q从C出发，以每秒3个单位长度的速度向B运动，P、Q同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为t秒。ABCDPQ探究学习（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？已知:如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动。P、Q同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为t秒。ABCPQD一展身手1）当t=2时，求△BPQ的面积。2）当t为何值时，以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形？3）当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？２.如图,△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥ＢＣ，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？FEABCDP一、感知动点1、如图：点A、B是直线l外一点，点P是直线l上一动点，当点P运动到什么位置时，PA+PB的值最小？2、在四边形ABCD中，点P是边CD上一动点E、F分别是AP、BP的中点，当点P在CD上从C向D移动时，线段EF的长度将＿＿＿＿（变大、不变、变小）二、我能行例1：菱形ABCD中，点E是BC的中点，AB=6，∠BAC=12O°，点P是对角线BD上一动点，则PE+PC的最小值是多少？例2:如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6).(1)t为何值时，△QAP为等腰直角三角形；(2)求四边形QAPC的面积，二、我能行(3)、写一个与(2)计算结果有关的结论例3：在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一动点，过点O作直线MN∥BC。设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。二、我能行个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒22011河南如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，点E是线段AD上的一动点（不与A、D重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点。（1）、试探索四边形ECFH的形状，并说明理由。（2）、当点E运动到什么位置时，四边形ECFH是菱形？并加以证明。（3）、若（2）中的菱形是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论。2009临沂３.已知：等边△ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．