《小学数学经典专题课程集锦》

梁老师奥数培优1目录行程综合………………………………………………………3圆的周长和面积………………………………………………14解决问题的策略………………………………………………21行程问题………………………………………………………34探索规律………………………………………………………47工程问题………………………………………………………54小学方程与应用题专题解析…………………………………66小升初应用题解题指导课程…………………………………79梁老师奥数培优2行程综合【知识梳理】基本公式：路程＝速度×时间基本类型相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）时钟问题:时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。具体是：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度，时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度。其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；复杂的行程1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；【典例剖析】例1甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的32,二人相遇后继续行进，甲到B地、梁老师奥数培优3乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少千米？【分析】此题为直线型的多次相遇问题，我们可以借助图形和比例解题。【解】如图：C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点，将AC作为3份，则CB是2份第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此，乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。但已知DC是20千米，所以AB的长度是20÷2×（2+3）＝50（千米）答：A、B两地相距50千米。反馈练习：1、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。例2甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,梁老师奥数培优4丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米？【分析】这是择校考常考题，本题有两种解答方法。【解】解法一依题意,作线段图如下:甲2分钟丙AB乙丙遇到乙后2分钟再遇到甲,2分钟甲、丙两人共走了(50+70)×2=240(米),这就是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程.又知乙比甲每分钟多走60-50=10(米).由此知乙、丙从出发到相遇所用的时间是240÷10=24(分).所以,A、B两地相距(60+70)×24=3120(米).解法二甲、丙相遇时,甲、乙两人相距的路程就是乙、丙相背运动的路程和,即(60+70)×2=260(米).甲、乙是同时出发的,到甲、丙相遇时,甲、乙相距260米,所以,从出发到甲、丙相遇需260÷(60-50)=26(分).所以,A、B两地相距(50+70)×26=3120(米).答：A、B两地相距3120米例3甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【分析】这是一道环形跑道的多次相遇问题。要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇梁老师奥数培优5时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行14003.5(3000)3.54米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米知道甲还需行100（=300-200）米。1400÷300=4（圈）……200（米）300-200=100（米）答：甲还需跑100米才能回到出发点.反馈练习：2、如下图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。例4有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发梁老师奥数培优6开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?【解】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程。骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发。骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆。电车共发出9辆，共有8个间隔，于是5×8＝40（分）答：他从乙站到甲站用了40分钟。例5有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【分析】常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的112．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“112”．【解】在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分梁老师奥数培优7针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“112”，于是需要时间：1650(1)541211．所以，再过65411分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过65(1210)6054651111分钟，时针与分针第二次重合．答：再过65411分钟，时针与分针将第一次重合，再经过56511分钟，时针与分针第二次重合．反馈练习：3、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？例6一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距多少千米？【分析】与分数百分数相结合的行程问题【解】车速提高20%，速度比为5：6，路程一定的情况下，时间比应为6：5，所以以原始速度行完全程的时间为1÷（6－5）×6=6小时。以后一段路程为参考对象，车速提高25%，速度比为4：5，所用时间比应该为5：4，提前40分钟到达，则用规定速度行驶完这一段路程需要40×5=200分钟，所以甲乙两地相距270千米。答：甲乙两地相距270千米。梁老师奥数培优8反馈练习：4、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？例7学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。问：他们一共走了多少千米？【分析】运用方程解题【解】方法一：设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。方法二：设山路有X千米，则上山用时间X/3小时，下山用X/6小时，计算平均速度为2X/(X/3+X/6)=4千米/小时，与平地速度一样。所以一共走了6×4=24千米。答：他们一共走了24千米【过关练习】1、甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午几点出发？梁老师奥数培优92、王明回家,距家门300米,妹妹和小狗一齐向他奔来,王明和妹妹的速度都是每分钟50米,小狗的速度是每分钟200米,小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间.当王明与妹妹相距10米时,小狗一共跑了多少米？3、甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米.4、钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？5、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。【提高练习】1、甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发梁老师奥数培优1015分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。3、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？5、小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有310的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就比独自步行提早了5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要多少分钟？6、某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙两个运动员分别从两条跑道相距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的交汇点C时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与甲相遇时，所用时间是多少秒?CBA梁老师奥数培优11答案：反馈练习1、24千米2、360米3、490(60.5)16114、450千米过关练习1、7点2、580米3、3120米4、119202112115、450千米提高练习1、75分2、2400米3、1270(60.5)49114、1233分5、1800秒梁老师奥数培优12圆的周长和面积【知识梳理】知识点圆的周长和面积S：面积C：周长π：圆周率d：直径r：半径（π是圆周率，是个常量，通常题目中圆周率取3.14，如果题目有特殊要求就按题目的具体要求取值。）1、圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr2、半圆的周长公式：C＝21πd+d3、四分之一圆的周长公式：C＝41πd+d4、圆的面积公式：S＝π2r5、四分之一圆的面积公式：S＝41π2r6、半圆的面积公式：S＝21π2r7、圆环的面积公式：S＝πR2-π2r=π（R2-2r）【典例剖析】梁老师奥数培优13例1一个人要从A点到B点（如图），他可以按①号弧形所表示的路线走，也可以按照②号弧形所表示的路线走。哪条路线近？为什么？【分析】假设大圆的直径为g，三个小圆的直径分别为d、e、f，按照题意，1号箭头所表示的路线是大圆周长的一半，即πg÷2；2号箭头所表示的路线是三个小圆周长的一半的总和，即πd÷2＋πe÷2＋πf÷2＝π（d＋e＋f）×12。因为d＋e＋f＝g，即πg÷2＝πd÷2＋πe÷2＋πf÷2，所以两条路线同样长。【解】设外面半圆直径为g，三个小圆直径分别为d、e、f；则：g=d＋e＋f。外面半圆路线周长：C1=12πg里面三个小半圆路线周长：C2=12πd+12πe+12πf，C2=12π（d＋e＋f）因为：g=d＋e＋f，所以：C2=12πg，所以：C1=C2答：两条路线一样长。例2一个长方形的长是6.42米，宽是3米，这个长方形的周长与一个圆的周长相等，这个圆的周长的半径是多少米？【