林寿数学史第八讲：19世纪的代数

第八讲19世纪的代数代数学的新生代数方程与根数系扩张行列式与矩阵布尔代数代数数论突破传统高斯(联邦德国,1955)1799年高斯(德,1777-1855)代数基本定理)r-(x)r-)(xr-a(xP(x)n21代数方程根式解高斯，数学家、物理学家和天文学家1795年进入哥廷根大学正17边形尺规作图法（1796）数论、代数、非欧几何、复变函数和微分几何等方面做出了开创性的贡献近代数学奠基者之一，“数学王子”“宁可少些，但要好些。”高斯和正十七边形(民主德国,1977)代数方程根式解代数方程根式解高斯墓1824年阿贝尔(挪,1802-1829)定理拉格朗日1770年拉格朗日(法,1736-1813)《关于代数方程解的思考》：预解式代数方程根式解1799年鲁菲尼(意,1765-1822)定理鲁菲尼阿贝尔伽罗瓦1829－1831年伽罗瓦(法,1811-1832)理论代数方程根式解阿贝尔阿贝尔（挪，1802－1829）贡献：方程论、无穷级数和椭圆函数论16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824年，证明了一般五次方程根式解的不可能性1825.5到柏林，五次方程论文发表于克雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文1826.7到巴黎，论文提交法国科学院1827.5回到奥斯陆1841年椭圆函数论论文发表1908年维格兰(挪,1869-1943)雕塑的阿贝尔塑像数学奖阿贝尔奖(2003-)1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设立阿贝尔奖。挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖,从2003年起每年颁发一次。阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。阿贝尔的塑像(挪威,1983)数学奖阿贝尔奖(2003-)2003年塞尔(法,1926-)关于代数拓扑、代数几何获奖数学奖阿贝尔奖(2003-)2003年塞尔(法,1926-)关于代数拓扑、代数几何获奖伽罗瓦(法,1811-1832)(法国,1984)代数方程根式解伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这一经历了300年问题的彻底解决，及尺规作图中“三等分任意角”问题和“倍立方”问题不可能在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、雅可比（德，1804－1851年）的著作1829年进入巴黎高等师范学校1829－1831年提交法国科学院的数学奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松1831年1月被校方开除，两次入狱，死于为“爱情与荣誉”的决斗1846年论文发表伽罗瓦的遗书我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现……。在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。热烈地拥抱你。伽罗瓦代数方程根式解有限置换群1849-1854年凯莱(英,1821-1895)引入抽象群伽罗瓦域1893年韦伯(德,1842-1913)抽象域抽象化尝试)log-n13121(1limnn1811，1831年高斯(德,1777-1855)讨论了复数几何表示1797年威塞尔(挪,1745-1818)、1806年阿甘德(瑞,1768-1822)讨论了复数几何表示数系扩张1747年达朗贝尔(法,1717-1783)断言复数表示为a+ib，1777年欧拉(瑞,1701-1783)支持用i表示虚数单位1737年欧拉(瑞,1701-1783)证明了e是无理数1761年兰伯特(法,1728-1777)证明了π是无理数1844年刘维尔(法,1809-1882)第一次显示了超越数的存在1873年和1882年埃尔米特(法,1822-1901)和林德曼(德,1852-1939)分别证明了e和π是超越数，“化圆为方”问题的不可能欧拉常数是否是无理数?实数复数1837年哈密顿(爱尔兰,1805-1865)表示复数为有序实数对1843年哈密顿(爱尔兰,1805-1865)定义了四元数数系扩张1844年格拉斯曼(德,1809-1877)引进了n个分量的超复数dkcjbia-1kji222j-ikkii,-kjjkk,-jiij1847年凯莱(英,1821-1895)定义了八元数麦克斯韦(英,1831-1879)创造了向量分析哈密顿的四元数(爱尔兰,1983)数系扩张哈密顿（爱尔兰，1805－1865年），光学、力学和代数自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童”1820年已阅读牛顿《自然哲学的数学原理》，拉普拉斯的《天体力学》，1823年进入剑桥大学三一学院1834年发表论文“一种动力学的普遍方法”1843年10月16日定义了四元数－－“思想电路接通之火花”1837－1845年任爱尔兰皇家科学院院长英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家1683年关孝和(日,1642-1708，“算圣”)完成《解伏题之法》提出行列式理论和代数方程变换理论1750年克莱姆(瑞,1704-1752)法则1772年范德蒙(法,1735-1796)、拉普拉斯(法,1749-1827)行列式展开定理1841年凯莱(英,1821-1895)行列式记号1852年西尔维斯特(英,1814-1897)惯性定理1854年埃尔米特(法,1822-1910)使用了正交矩阵1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰,1805-1865)定理1870年若尔当(法,1838-1921)建立了若尔当标准形1879年弗罗贝尼斯(德,1849-1917)引入矩阵的秩行列式与矩阵凯莱西尔维斯特埃尔米特弗罗贝尼斯若尔当行列式与矩阵克莱姆拉普拉斯关孝和布尔代数来源于对数学和逻辑基础的探讨,莱布尼茨(德,1646-1716)提出思维演算和逻辑的数学化思想德•摩根(英,1806-1871)1847年《形式逻辑》首创关系逻辑研究德•摩根布尔施罗德施罗德(德,1841-1902)《逻辑代数讲义》(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰布尔(英,1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数,1847年和1854年布尔出版《逻辑的数学分析》和《思维规律研究》布尔代数全称肯定命题所有X是Yx(1-y)=0全称否定命题所有X不是Yxy=0特称肯定命题有些X是Yxy≠0特称否定命题有些X不是Yx(1-y)≠0布尔(英,1815-1864)，数学、逻辑学家，50篇学术论文和两部教科书，19世纪数理逻辑的最杰出代表“自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿《自然哲学的数学原理》，拉格朗日《解析函数论》和拉普拉斯《天体力学》1839年申请进剑桥大学，1844年发表“关于分析中的一般方法”1849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，1857年英国皇家学会会员费马律师解析几何微积分概率论数论费马小定理:1640年10月18日费马大定理“业余数学家之王”－费马（法，1601－1665年）平方数问题费马数:1640年给梅森(法,1588-1648)的信17世纪的数论a-a|p,pa,pp则互素与是素数如果无非零整数解的自然数对大于n2zyxnnn22222435,125,14nI如表示为两个平方数之和能以一种方式的素数和它的平方都只形如：个平方数之和超过每个正整数可表示成不：4II形如12Fn2n的数永远是素数1732年欧拉(瑞,1701-1783)证明F5不是素数1736年欧拉证明了费马小定理1742年哥德巴赫(德,1690-1764)猜想1753年欧拉宣布证明了n=3时的费马大定理(1770发表)1754年欧拉证明了费马平方数I问题1770年拉格朗日(法，1736-1813)证明了费马平方数II问题1770年华林(英,1734-1798)问题18世纪的数论无解有解)(mod1,-)(mod1,)(22paxpaxpa21-q21-p(-1))pq)(qp(1743年欧拉发现二次互反律:代数数论.,19,9,4等等个四次方数之和或者是个立方数之和或者是个平方数之和每个自然数或者是高斯《算术研究》（1801）同余理论，复整数理论和型的理论“数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。”开创德国数学成为世界数学的中心之路代数数论德国马克上的高斯(1989)高斯和哥廷根(尼加拉瓜，1994)代数数论1801年高斯(德,1777-1855)出版《算术研究》：二次互反律1871年戴德金(德,1831-1916)创立代数数　　　　　　)5--)(15-(1326因式分解2)/5--(1,2)/5-(1,2,621212其中　希尔伯特戴德金库默尔1844-1847年库默尔(德,1810-1893)提出理想数1897年希尔伯特(德,1862-1943)“代数数域理论”戴德金(民主德国,1981)代数数论素数判定梅森梅森(法,1588-1648)数:《物理数学随感》(1644),2p-1=Mp,p是素数.1772年欧拉(瑞,1701-1783)证明第8个梅森素数M31,有10位数字.1996年美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了因特网梅森素数大搜索程序(GIMPS项目),将其放置在因特网上供数学爱好者使用。目前有150多个国家的9万多名志愿者、超过25万台计算机参与这项计划.该计划利用大量普通计算机的闲置时间,获得相当于超级计算机的运算能力，近年来新产生的梅森素数都是通过GIMPS项目找到的.美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金,鼓励第一个找到超过千万位素数的人;25万美元奖第一个找到超过十亿位素数的人.素数判定在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数,近10多年来通过GIMPS项目找到了10个(35至44个)梅森素数.德国眼科专家马丁•诺瓦克2005年2月18日发现第42个梅森素数M25964951,有7816230位数.美国数学家库珀和化学家布恩,2005年12月15日发现第43个梅森素数M30402457,有9152052位数;他们在2006年9月4日又发现第44个梅森素数M32582657,有9808358位数,如果用普通字号将这个数字连续写下来,它的长度超过40公里.周海中（中）梅森素数分布猜测（1992）素数判定个素数有时，　当1-2M2p21np221nn。第八讲思考题1、谈谈数e的历史与作用。2、虚数的历史地位是如何逐步确立的？3、对素数判定意义的分析。4、如何理解“数学是科学的王后”、“数学是科学的女仆”？