浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届中考数学总复习《第十八讲 二次函数的应用》课件 新人教版

第十八讲二次函数的应用课前必读考纲要求1.会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解；2.能用二次函数解决简单的实际问题.考情分析近三年浙江省中考情况年份考查点题型难易度2010年二次函数综合题(12分)解答题中等、较难结合2011年二次函数综合题(12分)解答题容易、较难结合2012年用二次函数求最值(8分)解答题中等网络构建认真审题是前提等量关系是关键见到最值求函数根据变量求最值考点梳理用函数解决实际问题中的最值问题，列出函数关系式，若是一次函数需根据题意，求_______的取值范围，用函数的_____性确定最值；若是二次函数需要考虑____，若____的横坐标在自变量范围内，则____的函数值即为所求最值．若_____的横坐标不在自变量范围内，则在自变量取值范围内，用_____性确定最值．应用二次函数的性质，解决实际问题中的最值问题自变量增减顶点顶点顶点增减顶点名师助学求最值问题，常常借助一次函数或二次函数来解决．因为函数可以看作二元方程，所以在列函数关系式时，关键是找等量关系，然后设两求最值问题，常常借助一次函数或二次函数来解决．因为函数可以看作二元方程，所以在列函数关系式时，关键是找等量关系，然后设两个恰当未知数列方程；同时找不等关系列不等式来确定自变量取值范围，最后根据函数的增减性求最值．解决此类问题的关键是建立恰当的______________，应用数形结合的思想，实现图形上的点与坐标之间的转化．抛物线型问题名师助学1．解决抛物线型问题时应根据题目中的条件建立恰当的坐标系；2．解方程组的思想是消元，包含代入消元法和加减消元法．平面直角坐标系对接中考常考角度运用二次函数求最值．对接点一：应用二次函数性质，解决实际问题中的最值问题(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？【例题1】(2012·嘉兴)某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？分析(1)根据当全部未租出时，每辆租金为：400＋20×50＝1400元，得出公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400－50x；(2)根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可；(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y＝0.即：－50(x－14)2＋5000＝0，求出即可．(1)解析∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；∴当全部未租出时，每辆租金为：400＋20×50＝1400元∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400－50x答案1400－50x(2)解根据题意得出：y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.当x＝14时，在自变量范围内，y有最大值5000.答当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．(3)解要使租凭公司日收益不盈也不亏，即：y＝0.即：－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4，∵x＝24不合题意，舍去．答当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．本题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或函数关系式是解题关键．(1)设矩形的一边GH＝xcm，那么HE边的长度如何表示？(2)设矩形EFGH的面积为ycm2，当x为何值时，y的值最大？最大是多少？【预测1】某家具厂有一种如图所示的木板余料，已知BC＝24cm，BC边上的高AD＝16cm，现要在这种余料上截取矩形木板EFGH,使E，F在BC上，G，H分别在AC，AB上．解(1)设AD，GH交于点M，∵四边形EFGH为矩形，∴GH∥BC，又∵AD⊥BC，∴AM⊥GH.∴△AHG∽△ABC，∴GHBC＝AMAD，即x24＝AM16.∴AM＝23x，∵四边形EDMH为矩形，∴HE＝MD＝AD－AM＝16－23x(0x24)．(2)∵四边形EFGH为矩形，∴y＝GH·HE＝x16－23x，即y＝－23x2＋16x＝－23(x－12)2＋96.∵a＝－230，∴抛物线开口向下，有最大值．∴当x＝12cm时，y的值最大，最大值为96cm2.【预测2】某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系：yA＝kx，并且当投资5万元时，可获得利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yB＝ax2＋bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式．(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．解(1)当x＝5时，yA＝2，2＝5k，k＝0.4，∴yA＝0.4x.当x＝2时，yB＝2.4；当x＝4时，yB＝3.2.∴2.4＝4a＋2b，3.2＝16a＋4b，解得a＝－0.2，b＝1.6，∴yB＝－0.2x2＋1.6x.(2)设投资B种商品x万元，则投资A种商品(10－x)万元，获得利润W万元，根据题意可得W＝－0.2x2＋1.6x＋0.4(10－x)＝－0.2x2＋1.2x＋4，∴W＝－0.2(x－3)2＋5.8，当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．∴投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．常考角度结合二次函数的图象解决生活中的实际问题或与几何相关的数学问题．对接点二：抛物线型问题【例题2】(2012·武汉)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－1128(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？答需32小时禁止船只通行．解(1)设抛物线的方程为y＝ax2＋11，由题意得B(8，8)，∴64a＋11＝8，解得a＝－364，∴y＝－364x2＋11；(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，∴6＝－1128(t－19)2＋8，解得t1＝35，t2＝3，∴35－3＝32(小时)．解决函数的应用题经常用到数形结合、转化、归纳等数学思想方法，从文字，表格和图中提取有效信息，进行利用函数的性质和相关知识来解决问题．【预测3】小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－15x2＋3.5的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是()A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m解析把y＝3.05代入y＝－15x2＋3.5中得x1＝1.5，x2＝－1.5(舍去)．∴l＝2.5＋1.5＝4米．答案B【预测4】跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围________．(2)解把x＝3代入y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9得，y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8.(1)解由题意得点E(1，1.4)，B(6，0.9)，代入y＝ax2＋bx＋0.9得a＋b＋0.9＝1.4，36a＋6b＋0.9＝0.9.解得a＝－0.1，b＝0.6.∴所求的抛物线的解析式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9.答小华的身高是1.8米．(3)答案1t5易错防范问题1.建立的坐标系不恰当；问题2.设的函数关系式不正确；问题3.找不清题目中隐含的等量关系；问题4.寻找已知点代入解析式时，点的坐标不能正确表示．二次函数应用中的常见错误【例题3】(2012·济南外国语学校)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B和D4，－23，则抛物线的表达式为________．[错解]∵正方形OABC的边长为2，∴A(0，－2)，B(2，2)将A、B、D代入y＝ax2＋bx＋c得－2＝c2＝4a＋2b＋c－23＝16a＋4b＋c解得a＝－56，b＝113，∴y＝－56x2＋113x－2[错因分析]正方形OABC的边长为2，于是把B点坐标写为了(2，2)．因为点B在第四象限，所以B点坐标应为(2，－2)．[正解]∵正方形OABC的边长为2，∴A(0，－2)，B(2，－2)将A、B、D代入y＝ax2＋bx＋c得－2＝c－2＝4a＋2b＋c－23＝16a＋4b＋c，解得a＝16，b＝－13，∴y＝16x2－13x－2.1.点的坐标特点应熟记并会运用；2．解三元一次方程组的思想也是消元．课时跟踪检测