浙江大学2003年数学分析考研试题

1浙江大学2003年数学分析考研试题1.叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之.2.设()fx在[),a+∞上一致连续，()xϕ在[),a+∞上连续，且()()lim0xfxxϕ→+∞−=，证明：()xϕ在[),a+∞上一致连续.3.设()fx在[),a+∞上有二阶连续导数，且()0fa，()0fa′，当xa时，()0fx′′≤.证明：在[),a+∞内，方程()0fx=，有且只有一个实根.4.设()fx连续，()()10xfxtdtϕ=∫，且()0limxfxAx→=（常数），求()xϕ′，并讨论()xϕ′在0x=处的连续性.5.定义()npx为()()2112!nnnnndxpxndx−=，()1,2,n=
，()01px=，证明：()()110,2,21mkmkpxpxdxmkm−≠==+∫.6.给出Riemann积分()bafxdx∫的定义，并确定实数s的范围，使下列极限收敛101limsnniinn−→∞=∑.7.证明：（1）函数项级数()1211nnnx−∞=−+∑在(),−∞+∞上一致收敛，但是对任意(),x∈−∞+∞，级数非绝对收敛；（2）函数项级数()2211nnxx∞=+∑对任意(),x∈−∞+∞都绝对收敛，但在(),−∞+∞上非一致收敛.8.计算（1）1001maxlnsstdt≤≤−∫；（2）233Dxdxdyyxy+∫∫，其中D为平面曲线1xy=，3xy=，2yx=，23yx=所围成的有2界闭区域；（3）()1,,xyzfxyzdS++=∫∫，其中()2222222221,1,,0,1xyzxyzfxyzxyz−−−++≤=++.