浙江省宁波市余姚三中2015-2016学年高一(下)期中数学试卷(解析版)

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第1页(共14页)2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高一(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=10,则S9=()A.9B.10C.45D.902.在△ABC中,三边a,b,c满足a2=b2+c2+bc,则角A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°3.已知实数列﹣1,x,y,z,﹣2成等比数列,则xyz等于()A.﹣4B.±4C.﹣2D.±24.若α,β为锐角,且满足cosα=,则sinβ的值为()A.B.C.D.5.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了3个伙伴;第2天,4只蜜蜂飞出去,各自找回了3个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中蜜蜂的总只数为()A.243B.729C.1024D.40966.在△ABC中,则C等于()A.B.C.D.7.一艘向正东航行的船,看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的北偏西30°,另一灯塔在船的北偏西15°,则这艘船的速度是每小时()A.5海里B.海里C.10海里D.海里8.化简的结果是()A.﹣cos1B.cos1C.cos1D.9.在△ABC中,若,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形10.等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别为Sn和Tn,对一切自然数n都有,则=()A.B.C.D.第2页(共14页)二、填空题(本题共7小题,每小题4分,共28分.将答案填在答题卷相应位置上.)11.在等比数列{an}中,若a1>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=.12.已知sin(α+45°)=,则sin2α=.13.已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,A=60°,b=1,c=4,则a=,=.14.sin2α=,且<α<,则cosα﹣sinα的值为.15.已知某企业的月平均利润增长率为a,则该企业利润年增量长率为.16.设当x=θ时,函数f(x)=sinx+2cosx取得最大值,则cosθ=.17.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f(﹣5)+f(﹣4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.三、解答题(本大题共5小题,满72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)18.(1)求和:Sn=1.(2)an=,求此数列的前n项和Sn.19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.20.已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn﹣1=0(n≥2),a1=1,(1)求证数列数列是等差数列(2)求an.21.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R(1)求f()的值;(2)若sina=,且a∈(,π),求f(+).22.已知数列{an}的前n项和Sn=,数列{bn}的通项为bn=f(n),且f(n)满足:①f(1)=;②对任意正整数m,n,都有f(m+n)=f(m)f(n)成立.(1)求an与bn;(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.第3页(共14页)2015-2016学年浙江省宁波市余姚三中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=10,则S9=()A.9B.10C.45D.90【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=10,∴S9=(a1+a9)===45.故选:C.2.在△ABC中,三边a,b,c满足a2=b2+c2+bc,则角A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°【考点】余弦定理.【分析】由已知可得:b2+c2﹣a2=﹣bc,从而根据余弦定理可得cosA==﹣,结合范围0<A<π,即可得解.【解答】解:∵a2=b2+c2+bc,∴b2+c2﹣a2=﹣bc,∴cosA===﹣,由于0<A<π,∴解得:A=120°,故选:C.3.已知实数列﹣1,x,y,z,﹣2成等比数列,则xyz等于()A.﹣4B.±4C.﹣2D.±2【考点】等比数列的性质.【分析】根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于(﹣1)×(﹣2),开方即可求出y的值,然后利用zx的积与y的值求出xyz即可.【解答】解:∵xz=(﹣1)×(﹣2)=2,y2=2,∴y=﹣(正不合题意),∴xyz=﹣2.故选C.第4页(共14页)4.若α,β为锐角,且满足cosα=,则sinβ的值为()A.B.C.D.【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(α+β)的值,再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin[(α+β)﹣α]的值.【解答】解:α,β为锐角,且满足cosα=,∴sinα==,sin(α+β)==,则sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=﹣×=,故选:C.5.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了3个伙伴;第2天,4只蜜蜂飞出去,各自找回了3个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中蜜蜂的总只数为()A.243B.729C.1024D.4096【考点】等比数列的前n项和.【分析】设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an,由题意可得数列{an}成等比数列,它的首项为4,公比q=4,由通项公式易得答案.【解答】解:设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an,由题意可得数列{an}成等比数列,它的首项为4,公比q=4∴{an}的通项公式:an=4•4n﹣1=4n,∴到第6天,所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a6=46=4096只蜜蜂.故选:D6.在△ABC中,则C等于()A.B.C.D.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】利用两角和的正切公式,求出tan(A+B)的三角函数值,求出A+B的大小,然后求出C的值即可.【解答】解:由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan(A+B)==﹣=因为A,B,C是三角形内角,所以A+B=120°,所以C=60°故选A第5页(共14页)7.一艘向正东航行的船,看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的北偏西30°,另一灯塔在船的北偏西15°,则这艘船的速度是每小时()A.5海里B.海里C.10海里D.海里【考点】解三角形的实际应用.【分析】根据题意,作出对应的三角形,结合三角形的边角关系即可得到结论.【解答】解:设两个灯塔分别为C,D,则CD=10,由题意,当船在B处时,∠ABC=60°,∠CBD=∠CDB=15°,即CD=BC=10.在直角三角形CAB中,AB=BCcos60°=10×=5,则这艘船的速度是=10海里/小时,故选:C.8.化简的结果是()A.﹣cos1B.cos1C.cos1D.【考点】二倍角的余弦.【分析】利用二倍角公式,同角三角函数关系式即可化简求值.【解答】解:.故选:C.9.在△ABC中,若,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形【考点】三角形的形状判断.【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦,右边利用正弦定理变形,然后根据二倍角的正弦函数公式化简,由A和B为三角形的内角,根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系,根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状.【解答】解:由正弦定理得:==2R,(R为三角形外接圆的半径)第6页(共14页)∴a=2RsinA,b=2RsinB,∴变形为:=,化简得:2sinBcosB=2sinAcosA,即sin2B=sin2A,由A和B为三角形的内角,得到2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.故选B10.等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别为Sn和Tn,对一切自然数n都有,则=()A.B.C.D.【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别为Sn和Tn,利用等差数列的性质化简后,得到a5=S9,b5=T9,然后将n=9代入已知的等式中求出的值,即为所求式子的值.【解答】解:∵S9==9a5,Tn==9b5,∴a5=S9,b5=T9,又当n=9时,==,则===.故选B二、填空题(本题共7小题,每小题4分,共28分.将答案填在答题卷相应位置上.)11.在等比数列{an}中,若a1>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=5.【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式.第7页(共14页)【分析】由{an}是等比数列,a2a4+2a3a5+a4a6=25,利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25,再由完全平方和公式知(a3+a5)2=25,再由an>0,能求出a3+a5的值.【解答】解:∵{an}是等比数列,且a1>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,∴a32+2a3a5+a52=25,即(a3+a5)2=25.再由a3=a1•q2>0,a5=a1•q4>0,q为公比,可得a3+a5=5,故答案为:5.12.已知sin(α+45°)=,则sin2α=.【考点】三角函数的化简求值.【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件,利用平方即可求出所求结果.【解答】解:sin(α+45°)=,可得(sinα+cosα)=,可得(1+2sinαcosα)=.∴sin2α=.故答案为:.13.已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,A=60°,b=1,c=4,则a=,=.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】由已知及余弦定理可求a的值,由正弦定理可得=,从而得解.【解答】解:由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13,可得a=,由正弦定理可得:===.故答案为:,.14.sin2α=,且<α<,则cosα﹣sinα的值为﹣.【考点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系.【分析】根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系求出(cosα﹣sinα)2,然后由角的范围求出结果.【解答】解;∵sin2α=2sinαcosα=sin2α+cos2α=1第8页(共14页)∴(cosα﹣sinα)2=1﹣=∵<α<∴cosα﹣sinα=﹣故答案为:﹣15.已知某企业的月平均利润增长率为a,则该企业利润年增量长率为(1+a)12﹣1.【考点】函数的值.【分析】由月平均增长率计算出每月的产量,进而求出一年的总产量,由增长率公式求解.【解答】解:某企业的月平均利润增长率为a,设第1年1月份的产值为1,则第1年的总产值是下面等比数列的各项和:1,(1+a),(1+a)2,…,(1+a)11,即S1=,第2年的总产值是等比数列(1+a)12,(1+a)13,…,(1+a)23的各项和,即S2=.因此,年平均增长率为=(1+a)12﹣1.∴该企业利润年平均增长率为(1+a)12﹣1.故答案为:(1+a)12﹣1.16.设当x=θ时,函数f(x)=sinx+2cosx取得最大值,则cosθ=.【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.【分析】把f(x)化简为一个角的正弦函数即可求解.【解答】解:∵f(x)=sinx+2cosx=(sinx+cosx)设cosα=,sinα=即f(x)=sin(x+α)当x=θ时,函数f(x)=sinx+2cosx=sin(x+α)取得最大值即θ+α=+2kπk∈Z∴cosθ=cos(+2kπ﹣α)=sinα=故答案为:第9页(共14页)17.设f(x)=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