贝塞尔函数

贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。§5.1贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0,(5.1)(,),,(5.2)0,txyRuuuaxyRttxyuxyxyRu(5.3)用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()uxytVxyTt代入方程（5.1）得22222()VVVTaTxy或22222(0)VVTxyaTV由此得到下面关于函数()Tt和(,)Vxy的方程20TaT（5.4）22220VVVxy（5.5）从（5.4）得2()atTtAe方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。为了求出这个方程满足条件2220xyRV（5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02,(5.7)0,02,(5.8)RVvVVRV再令(,)()()VP，代入（5.7）并分离变量可得()()0（5.9）22()()()()0PPP（5.10）由于(,,)uxyt是单值函数，所以(,)Vxy也必是单值得，因此()应该是以2为周期的周期函数，这就决定了只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2nn，有00()2a（为常数）()cossin,(1,2,)nnnanbnn以2nn代入（5.10）得222()()()()0PPnP（5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n阶贝塞尔方程。若再作代换r，并记()()rFrP，则得222()()()()0rFrrFrrnFr.这是n阶贝塞尔方程最常见的形式。由条件（5.8）及温度u是有限的，分别可得()0(0)PRP（5.12）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在R处的第一类边界条件，第二个条件是在0处的自然边界条件，由于2()k在0处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。§5.2贝塞尔方程的求解在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x表示自变量，以y表示未知函数，则n阶贝塞尔方程为22222()0dydyxxxnydxdx（5.13）其中n为任意实数或复数。我们仅限于n为任意实数，且由于方程中的系数出现2n的项，所以在讨论时，不妨先假定0n。设方程（5.13）有一个级数解，其形式为20120()ckckkkkyxaaxaxaxax，00a（5.14）其中常数c和(0,1,2,)kak可以通过把y和它的导数,yy代入（5.13）来确定。将（5.14）及其导数代入（5.13）后得220{[()(1)()()]}0ckkkckckckxnax化简后写成22221220122()[(1)]{[()]}0ccckkkkcnaxcnaxcknaax要上式为恒等式，必须各个x幂的系数全为零，从而得到下列各式：1°220()0acn；2°221[(1)]0acn；3°222[()]0(2,3,)kkcknaak。由1°得cn，代入2°得10a。先暂取cn，代入3°得4°2(2)kkaaknk。因为10a，由4°知13570aaaa，而246,,,aaa都可以用0a表示，即022(22)aan，0424(22)(24)aann，06246(22)(24)(26)aannn，…0202(1)2462(22)(24)(22)(1)2!(1)(2)()mmmmaamnnnmamnnnm.由此知（5.14）的一般项为202(1)2!(1)(2)()mnmmaxmnnnm0a是一个任意常数，让0a取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。把0a取作012(1)nan这样选取0a可使一般项系数中2的次数与x的次数相同，并可以运用下列恒等式：()(1)(2)(1)(1)(1)nmnmnnnnm使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成221(1)2!(1)mmnmamnm（5.15）这样就比较整齐、简单了。以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解2120(1)(0)2!(1)nmmnmmxynmnm用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数。记作220()(1)(0)2!(1)nmmnnmmxJxnmnm（5.16）至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()nJx。当n为正整数或零时，(1)()!nmnm，故有220()(1)(0,1,2,)2!()!nmmnnmmxJxnmnm（5.17）取cn时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解220()(1)(1,2,)2!(1)!nmmnnmmxJxnmnm（5.18）比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n换成n，即可得到（5.18）式。因此不论n式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。当n不为整数时，这两个特解()nJx与()nJx是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为()()nnyAJxBJx（5.19）其中,AB为两个任意常数。当然，在n不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与()nJx线性无关的特解，它与()nJx就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取cot,cscAnBn，则得到（5.13）的一个特解()cot()csc()()cos()()sinnnnnnYxnJxnJxJxnJxnn整数（5.20）显然，()nYx与()nJx是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成()()nnyAJxBYx（5.21）由（5.20）式所确定的函数()nYx称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数。§5.3当n为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当n为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当n为整数时，()nJx与()nJx是线性相关的。事实上，不妨设n为正整数N（这不失一般性，因n为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，1(1)Nm当0,1,2,,(1)mN时均为零，这时级数从mN起才开始出现非零项。于是（5.18）可以写成222424()(1)2!(1)!(1){}2!2(1)!2(2)!2!(1)()NmmNnmmNNNNNNNNNNxJxmNmxxxNNNJx即()NJx与()NJx线性相关，这时()NJx与()NJx已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()NJx线性无关的特解。取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos()()lim()sinnnJxJxYxn为整数（5.22）由于当n为整数时，()(1)()cos()nnnnJxJxnJx，所以上式右端的极限为“00”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得2100200(1)()2212()()(ln)2(!)1mmmmkxxYxJxcmk21021100021(1)!()()(ln)2!2(1)()1112(),(1,2,3,)!()!11nmnnnmmnmnmmmkkxnmxYxJxcmxnmnmkk（5.23）其中111lim(1ln)0.557223ncn，称为欧拉常数。根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与()nJx是线性无关的（因为当0x时，()nJx为有限值，而()nYx为无穷大）。综上所述，不论n是否为整数，贝塞尔方程（5.13）的通解都可表示为()()nnyAJxBYx其中,AB为任意常数，n为任意实数。§5.4贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。在（5.17）中令0n及1n得246202426222()1(1)22(2!)2(3!)2(!)kkkxxxxJxk35721135721()(1)222!22!3!23!4!2!(1)!kkkxxxxxJxkk取出第一个级数的第2k项求导数，得222121122222221(22)(1)(1)(1)2[(1)!]2[(1)!]2!(1)!kkkkkkkkkdxkxxdxkkkk这个式子正好是1()Jx中含21kx这一项的负值，且知0()Jx的第一项导数为零，故得关系式01()()dJxJxdx（5.24）将1()Jx乘以x并求导数，又得2422132132122222222[()][(1)]222!2!(1)!(1)22(!)[1(1)]22(!)kkkkkkkkkddxxxxJxdxdxkkxxxkxxxk即10[()]()dxJxxJxdx（5.25）以上结果可以推广，现将()nJx乘以nx求导数，得2220212101[()](1)2!(1)(1)2!()()nmnmnnmmnmnmnmmnnddxxJxdxdxmnmxxmnmxJx即1[()]()nnnndxJxxJxdx（5.26）同理可得1[()]()nnnndxJxxJxdx（5.27）将（5.26）和（5.27）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得1()()()nnnxJxnJxxJx及1()()(