湖北省八校2010届高三第一次联考(理科数学)试题

第1页共10页1．某一随机变量的概率分布如下表，且1.5E，则mn的值为（C）A．0.3；B．0.1；C．0.3；D．0.1提示：0.20.31,00.21230.31.5mnmn，0.4,0.1,mn0.3mn．2．若0ab，则下列不等式中不一定．．．成立的是（B）A．11abB．11abbC．abD．∣a∣b提示：B中0,0,()0abbabb，2ba，而0ab时2ba不一定成立．3．已知集合2|21,AyyxxxR，1|,0ByyxxRxx且，则()RBAð（D）A．(2,2]B．[2,2)C．[2,)D．(2,2)提示：|2,|22AyyByyy或，|22RByyð，()RBAð(2,2)．0123P0.2mn0.3第2页共10页4．设:211px，:()[(1)]0qxaxa，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（A）A．1[0,]2B．1(0,)2C．(,0]∪1[,)2D．(,0)∪1(,)2提示：由p得：112x，由q得：1axa，又q是p的必要而不充分条件，所以1,2a且11a，102a．5．已知函数112()log(421)xxfx的值域是[0,)，则它的定义域可以是（A）A．(0,1]B．(0,1)C．(,1]D．(,0]提示：由函数()fx的值域为[0,)可得：104211xx，20(21)1x，0211x或1210x，即01x或0x．6．已知函数()2sinfxx在区间[,]34上的最小值是2，则的取值范围为（C）A．9(,]2B．(,2]C．3(,2][,)2D．9(,][6,)2提示：若0，则[,]34x，由图象知：32或342，所以32或6，即32；若0，同理可得：2，故选C．7．函数sin()4()22|sincos|sincosxfxxxxx是（B）A．周期为2的偶函数B．周期为的非奇非偶函数C．周期为的偶函数D．周期为2的非奇非偶函数提示：()|sin2|,4fxxxk，定义域不关于原点对称，函数()fx既不是奇函数又不是偶函数，又函数|sin2|yx的周期为2，去掉的点的周期为，所以函数()fx的周期为，故选B．8．已知函数2()11fxaxbx，其中0,1,1,2ab，则使得()0fx在[1,0]x上有解的概率为（A）A．12B．13C．14D．0第3页共10页提示：任取,ab的值有11224CC，而由图象可知当01ab，11ab时不满足条件，当02ab，12ab时满足条件，所以概率为12．9．设双曲线)0,0(12222babyax的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于,QR两点，其中O为坐标原点，则2||OP与||||OQOR的大小关系为（C）A．2||||||OPOQORB．2||||||OPOQORC．2||||||OPOQORD．不确定提示：取特殊点2(,)bPca，则直线OP的方程为2byxac，又直线AQ的方程为()byxaa，直线AR的方程为()byxaa，解得,QR的坐标为2(,)acbcbcb，2(,)acbcbcb，易得2||||||OPOQOR．（若设任意点也可得此结果）10．平面向量的集合A到A的映射f由()2()fxxxaa确定，其中a为常向量．若映射f满足()()fxfyxy对,xyA恒成立，则a的坐标不可能．．．是（B）A．(0,0)B．22(,)44C．22(,)22D．13(,)22提示：令yx，则2222()()[2()]4()4[()]fxfxxxxxaaxxaxaa即224[()]4()0xaaxa，22()(1)0,0xaaa或||1a，故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是48．提示：由图可知前3组的频率为0.75，所以第2组的频率为20.756，学生人数为120.2548．12．如图，在ABC中，AHBC于H，M为AH的中点，若ABCHM频率组距0.03750.0125505560657075体重第4页共10页AMABAC，则12．提示：,,BHC三点共线，12AHtABtAC，且121tt，又12AMAH1222ttABAC，1211()22tt．13．将抛物线2(3)40(0)axya按向量(3,4)v平移后所得抛物线的焦点坐标为1(0,)4a．提示：抛物线2(3)40(0)axya按(3,4)v平移后得抛物线的方程为：2yxa，所以其焦点坐标为1(0,)4a．14．若等差数列na的前n项和为nS，且310(7)nan，714S，72nS，则n12．提示：由714S得：17442aaa，42a，又143()()22nnnaanaanS72，所以12n．15．给出定义：若1122mxm(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即xm.在此基础上给出下列关于函数()fxxx的四个命题：①()yfx的定义域是R，值域是11(,]22；②点(,0)()kkZ是()yfx的图像的对称中心；③函数()yfx的最小正周期为1；④函数()yfx在13(,]22上是增函数；则其中真命题是__①③．提示：依题意知11,,(0)2213()1,,(1)22xxmfxxxm，画图可知①③正确．第5页共10页三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知等比数列na中，123,,aaabac，,,abc分别为ABC的三内角,,ABC的对边，且3cos4B．（1）求数列na的公比q；（2）设集合2|2||AxNxx，且1aA，求数列na的通项公式．解：（1）依题意知：2bac，由余弦定理得：222113cos()2224acbacBacca，．．．．．．3分而2cqa，代入上式得22q或212q，又在三角形中,,abc0，2q或22q；．．．．．．6分（2）2422||,40xxxx，即22(4)0,22xxx且0x，．．．．．．8分又xN，所以11,1Aa，1(2)nna或12()2nna．．．．．．．10分17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知O为坐标原点，向量(sin,1),(cos,0),(sin,2)OAOBOC，点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段AP的比为1．（1）记函数()fPBCA，(,)82，讨论函数()f的单调性，并求其值域；（2）若,,OPC三点共线，求||OAOB的值．解：依题意知：(sin,1),(cos,0),(sin,2)ABC，设点P的坐标为(,)xy，则：sin1cos,01111xy，所以2cossin,1xy，点P的坐标为(2cossin,1)．．．．．．2分（1）(sincos,1),(2sin,1)PBCA2()2sinfPBCA2sincos1(sin2cos2)2sin(2)4，．．．．．．4分第6页共10页由52(0,)44可知函数()f的单调递增区间为(,)82，单调递减区间为(,)88，．．．．．．6分所以2sin(2)(,1]42，其值域为[2,1)；．．．．．．8分（2）由,,OPC三点共线的41(sin)2(2cossin),tan3，．．．．．．10分2222sincos2tan24sin2sincos1tan25，2||(sincos)1OAOB74sin225．．．．．．．12分18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）若关于x的实系数方程20xaxb有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,3)内，记点(,)ab对应的区域为S．（1）设2zab，求z的取值范围；（2）过点(5,1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．解：方程20xaxb的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：函数2()yfxxaxb与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，由此可得不等式组(0)0(1)0(3)0fff，即010390babab，则在坐标平面aOb内，点(,)ab对应的区域S如图阴影部分所示，易得图中,,ABC三点的坐标分别为(4,3),(3,0),(1,0)，．．．．．．4分（1）令2zab，则直线2baz经过点A时z取得最小值，经过点C时z取得最大值，即minmax11,2zz，又,,ABC三点的值没有取到，所以112z；．．．．．．8分（2）过点(5,1)的光线经x轴反射后的光线必过点(5,1)，由图可知可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)，再结合不等式知点(3,1)符合条件，ab1A(-4,3)BCO319第7页共10页所以此时直线方程为：1(1)1(5)3(5)yx，即4yx．．．．．．．12分19．（本小题满分13分）（注意：在．试题卷上作答无效．．．．．．．．）已知函数()yfx的反函数为1()yfx，定义：若对给定的实数(0)aa，函数()yfxa与1()yfxa互为反函数，则称()yfx满足“a和性质”．（1）判断函数2()(1)1,[2,1]gxxx是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）若()Fxkxb，其中0,kxR满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得2(9)cossin(1)FFaF对任意的(0,)恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．解：（1）函数2()(1)1,[2,1]gxxx的反函数是1()11gxx，[1,2]x1(1)1,[0,1]gxxx而2(1)(2)1,[3,2]gxxx其反函数为21,[1,2]yxx,故函数2()(1)1,[2,1]gxxx不满足“1和性质”；．．．．．．6分（2）设函数()Fxkxb满足“2和性质”，0.k1(),,xbFxxRk12(2)xbFxk，而(2)(2),FxkxbxR，得反函数2xbkyk由“2和性质”定义可知2x