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湖北省十堰市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，且sinα=，则tanα=（ ） A．B．C．D． 2．已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（ ） A．cb2＜ab2B．c（b﹣a）＜0C．ab＞acD．ac（a﹣c）＞0 3．下列命题中不正确的是（ ） A．垂直于同一平面的两条直线平行． B．垂直于同一直线的两平面平行． C．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． D．一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线． 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（ ） A．15B．7C．8D．16 5．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积分别是（ ） A．B．C．D．1 6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则角A的大小为（ ） A．B．C．D． 7．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将△ADE绕DE旋转得到△A′DE（A′∉平面ABC），则下列叙述错误的是（ ） A．平面A′FG⊥平面ABC B．BC∥平面A′DE C．三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为a3 D．直线DF与直线A′E不可能共面 8．某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每一天支付50元；第二种，第一天付20元，第二天付30元，第三天付40元，依此类推；第三种，第一天付0.1元，以后每天比前一天翻一番（即变为前一天的2倍），对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（ ） A．打工不足5天选第一种 B．打工10天选第二种 C．打工两个星期选第三种 D．打工满一星期但不足20天就选第二种 29．某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A．B．C．4D． 10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＞0，a8+a9＜0，则使得的最小的n为（ ） A．10B．11C．12D．13 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中A1C1与AD1所成角的大小为 ． 12．若关于x的不等式ax2+2x+a＞0的集为R，则实数a的取范围是 ． 13．在△ABC中，若a=，b=1，B=30°，则角A的值是 ． 14．设数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则a+a+…+a= ． 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c，则当角C的值为 时，tan（A﹣B）取最大值 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.316．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（+）=，θ∈（0，），求cos（θ+）的值． 17．已知公差为d（d＞1）的等差数列{an}和公比为q（q＞1）的等比数列{bn}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}（1）求通项an，bn；（2）求数列{an•bn}的前n项和Sn． 18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（Ⅰ）求证：B1D1∥平面C1BD；（Ⅱ）求证：A1C⊥平面C1BD；（Ⅲ）求二面角B﹣C1D﹣C的余弦值． 19．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D，看到A在他的北偏东45°方向，B在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物A与B之间的距离．4 20．设△ABC的内角{bn}的对边分别为Tn，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若1+=，且，求c的值；（Ⅲ）若，则a+c的最大值． 21．已知数列{an}的各项均是正数，前n项和为Sn，且满足（p﹣1）Sn=p9﹣an，其中p为正常数，且p≠1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bnbn+1}的n项和Tn；（3）设cn=log2a2n﹣1，数列{cn}的前n项和是Hn，若当n∈N+时Hn存在最大值，求p的取值范围，并求出该最大值． 5湖北省十堰市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，且sinα=，则tanα=（ ） A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2α+cos2α=1，求出cosα，进一步利用角的范围和求出结果．解答：解：已知sinα=，根据sin2α+cos2α=1解得：由于：所以：则6故选：B点评：本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等式的应用，三角函数的求值问题． 2．已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（ ） A．cb2＜ab2B．c（b﹣a）＜0C．ab＞acD．ac（a﹣c）＞0考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：先判断出a＜0，c＞0，结合不等式的性质分别对A、B、C、D进行判断即可．解答：解：已知a，b，c满足a＜b＜c，且ac＜0，∴a＜0，c＞0，对于A：取a=﹣1，b=0，c=1，显然不成立；对于B：b﹣a＞0，c＞0，c（b﹣a）＞0，B错误；对于C：由b＜c，不等式两边都乘以负数a，得：ab＞ac，故C正确；对于D：ac＜0，a﹣c＜0，得：ac（a﹣c）＞0，故D错误；故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，求出a，c的符号是解答本题的关键，本题是一道基础题． 3．下列命题中不正确的是（ ） A．垂直于同一平面的两条直线平行． B．垂直于同一直线的两平面平行． C．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． D．一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线．7考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理分别分析选择．解答：解：对于A，根据线面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行正确；对于B，根据面面平行的判定定理能够得到垂直于同一条直线的两个平面平行正确；对于C，是面面平行的判定定理，故正确；对于D，一条直线平行于一个平面，则这条直线与于此平面内的任意一条直线位置关系是平行或者异面；故D错误．故选D．点评：本题考查了线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用． 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（ ） A．15B．7C．8D．16考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，8∴S4=1+2+4+8=15．故选：A点评：本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键． 5．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积分别是（ ） A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，长方体的对角线是球的直径，由此得到球的半径，由球的表面积和体积公式解答．解答：解：因为棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，所以球的直径为2，所以半径为，所以球的体积为；表面积为：；故选B．点评：本题考查了正方体的外接球的体积和表面积求法；关键是明确长方体的对角线是球的直径． 6．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则角A的大小为（ ） A．B．C．D．考点：余弦定理．9专题：解三角形．分析：由条件求得c2+b2﹣a2=bc，再利用余弦定理可得cosA的值，从而求得A的值．解答：解：△ABC中，∵（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，∴c2+b2﹣a2=bc，利用余弦定理可得cosA===，∴A=．故选：B．点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 7．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将△ADE绕DE旋转得到△A′DE（A′∉平面ABC），则下列叙述错误的是（ ） A．平面A′FG⊥平面ABC B．BC∥平面A′DE C．三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为a3 D．直线DF与直线A′E不可能共面考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，可判断A正确；由线面平行的判定定理，可判断B正确；10由棱锥的体积公式，可判断当高最大时，体积最大，求出体积的最大值，可判断C错误；由异面直线的判定定理可判断D正确．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴A'G⊥DE，DE⊥FG，∴DE⊥平面A′FG，DE⊂平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，故A正确∵BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故B正确当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′﹣DEF的高为A′G，而底面DEF的面积一定，∴三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为××××a=a3，故C错误；∵A′∉平面ABC，由异面直线的判定定理，直线DF与直线A′E是异面直线，故D正确．故选C．点评：本题以折叠图形为载体，考查面面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积公式及异面直线的判定，解题的关键是利用好折叠前的位置关系． 8．某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每一天支付50元；第二种，第一天付20元，第二天付30元，第三天付40元，依此类推；第三种，第一天付0.1元，以后每天比前一天翻一番（即变为前一天的2倍），对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（ ） A．打工不足5天选第一种 B．打工10天选第二种 C．打工两个星期选第三种 D．打工满一星期但不足20天就选第二种考点：不等关系与不等式．专题：计算题．11分析：由题意可知，三种方案对应着三种不同的函数解析式，第一种报酬是天数的一次函数，第二种可以用等差数列的前n项和列式，第三种由等比数列的前n项和列式，然后通过分别向三个函数解析式中代值检验即可得到答案．解答：解：记打n天工三种方案所得报酬分别是Sn，Tn，Hn，则，n=5时，Sn=250，Tn=200，Hn=3.1n=10时，Sn=500，Tn=650，Hn=102.4n=7时，Sn=350，Tn=350，Hn=12.7n=14时Sn=700，Tn=1190，Hn=1638.4比较以上数据可知前三个选项正确．故选D点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，是中档题． 9．某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A．B．C．4D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；压轴题．分析：设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三