大学物理第8章恒定磁场总结及练习题

1第8章恒定磁场一、基本要求掌握磁感强度矢量的概念；理解毕奥-萨伐尔定律、磁场的高斯定理、安培环路定理，能计算一些简单问题的磁感强度；理解洛伦兹力公式，能分析点电荷在均匀磁场中的受力和运动；理解安培定律，能计算简单几何形状载流导体在均匀磁场中所受的力（或力矩）．了解介质的磁化现象及其微观解释，了解各向同性介质中磁场强度和磁感强度的关系与区别．二、基本内容1．基本概念运动电荷（电流）产生磁场；描述磁场的基本物理量：磁感强度，磁通量；磁场对电流的安培力、磁场对运动电荷的洛伦兹力．2．毕奥-萨伐尔定律20dπ4drelIBr它是求解磁场的基本规律，从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零．从电流元的磁场出发，得到计算线电流产生磁场的方法：)(20)(dπ4dLrLrelIBB应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长载流直导线在空间任意一点的磁场，圆电流在圆心处的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，无限长螺线管内部和两端磁感强度．这些计算公式在求解问题时可以直接使用．3．磁场的叠加原理NiiBBBBB1n21该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和．将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多个电流在空间某点产生的磁场．在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和．4．磁场中的高斯定理0dSSB该定理表明：磁场是无源场，磁感线是无头无尾的闭合曲线．应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的．5．安培环路定理LNiiIμlB10d该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守场．应用该定理时，首先应该注意穿过以L为边界的任意2曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感强度不一定为零．在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L．6．安培定律BlIFdd该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律．一段载流导线在磁场中受到的安培力为)()(ddLLBlIFF应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁场力的分布特点．如果电流上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线所在处的磁场，然后用公式sinIBLf求出结果；如果电流上各点所受的磁场力的大小不同但方向相同，可以先在电流上取一小线段ld，求出ld段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果．7．洛伦兹力BqFv洛伦兹力方向始终与电荷运动方向垂直，对运动电荷不做功．质量为m，电量为q的粒子以速率v垂直进入磁场B时，粒子作匀速率圆周运动：运动半径：qBmRv，运动周期：qBmTπ2．三、例题详解8-1、一半径cm0.1R的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿轴向通有电流A0.10I的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点P的磁感强度．解：取ld段，其中电流为πd2πd2π21ddθIRθIRRlII在P点dd222dd2000RIIRRIB选坐标如图RIB20xdsind，RIB20ydcosdRIRIB202/π020xdsinRIRIB202/π020ydcosT108.12)(4202/12y2xRIBBB方向1/tanxyBB，225，为B与x轴正向的夹角．RPxydldBdR38-2、电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j，设板的厚度可以忽略不计，试用毕奥-萨伐尔定律求板外任意一点的磁感强度．解：如图，从上向下看，在垂直于j的ld长度内流过电流为Id，Id在P点产生的磁场：r)I/(μBπ2dd0，ljIdd)2/(dd0rljB由对称性的分析可知0d//Bcosπ2dcosdd0rljBB∵22xlr；22/cosxlx∴jxlljxBB022021dπ2d8-3、将通有电流A0.5I的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为m10.0R．求圆心O点的磁感强度．（H/m10π470）解：O处总cdbcabBBBB，方向垂直指向纸里而)sin(sin4120abaIB∵02，211，Ra∴)4/(0abRIB又)4/(0bcRIB因O在cd延长线上0cdB，所以)4/()4/(00cdbcabRIRIBBBB8-4、如图所示为两条穿过y轴且垂直于x-y平面的平行长直导线的正视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a．（1）推导出x轴上P点处的磁感强度)(xB的表达式．（2）求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值．解：（1）利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感强度的大小为：2/122001)(122xaIrIB2导线在P点产生的磁感强度的大小为：2/122002)(122xaIrIB1B、2B的方向如图所示．P点总磁感强度jdlloxrBdBd//dBPROIROIabcdIIxyaaoPx4coscos212x1xxBBBBB02y1yyBBB)()(220xaIaxB，ixaIaxB)()(220（2）当0d)(dxxB，0d)(d22xxB时，)(xB最大．由此可得：0x处，)(xB有最大值．8-5、已知空间各处的磁感强度B都沿x轴正方向，而且磁场是均匀的，T1B．求下列三种情形中，穿过一面积为2m2的平面的磁通量．（1）平面与yz平面平行；（2）平面与xz平面平行；（3）平面与y轴平行，又与x轴成45角．解：（1）平面法线与x轴平行，有Wb2SBmΦ（2）平面与xz坐标面平行，则其法线与B垂直，有0SBmΦ（3）与x轴夹角为45的平面，其法线与B的夹角为45或135故有Wb41.145cosBSSBmΦ或Wb41.1135cosBSSBmΦ8-6、一无限长圆柱形铜导体（磁导率0），半径为R，通有均匀分布的电流I．今取一矩形平面S（长为1m，宽为2R），位置如右图中阴影部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小，由安培环路定律可得：)(220RrrRIB因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通1为4d2dd00201IrrRISBSBR在圆形导体外，与导体中心轴线相距r处的磁感强度大小为)(20RrrIB因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通2为2ln2d2d0202IrrISBRR穿过整个矩形平面的磁通量2ln240021II．8-7、如图所示，一个带有正电荷q的粒子，以速度v平行于一均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为λ，并载有传导电流I．试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为r的平行直线上？解：依据无限长带电和载流导线的电场和磁场知：yrrxaa21oPxB1B2IS2R1m5rrE0π2)(（方向沿径向向外）rIrBπ2)(0（方向垂直纸面向里）运动电荷受力F（大小）为：vrIqrqFπ2π200此力方向为沿径向（或向里，或向外）为使粒子继续沿着原方向平行导线运动，径向力应为零，0π2π200vrIqrqF则有I00v．8-8、如图所示，载有电流1I和2I的长直导线ab和cd相互平行，相距为r3，今有载有电流3I的导线rMN，水平放置，且其两端MN分别与1I、2I的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向．解：载流导线MN上任一点处的磁感强度大小为：)2(π2)(π22010xrIxrIBMN上电流元xId3所受磁力：xxrIxrIIxBIFd])2(π2)(π2[dd201033)(2ln2]2ln2ln[22ln2ln2d22d2d])2(2)(2[21302130213002300130020103IIIIIIrrIrrIIxxrIIxxrIIxxrIxrIIFrrr若12II，则F的方向向下，12II，则F的方向向上．8-9、半径为R的半圆线圈ACD通有电流2I，置于电流为1I的无限长直线电流的磁场中，直线电流1I恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流1I的磁力．解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为)π2/(10rIB取o-xy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：sinπ210RIB，方向垂直纸面向里，式中为场点至圆心的联线与y轴的夹角．半圆线圈上段线ld电流所受的力为：IrqvMrrracbdNI1I2I3I2I1ADC6dsin2ddd21022RRIIlBIBlIFπcosddyFF，根据对称性知：0dyyFFsinddxFF，2ππ2d210210π0xxIIIIFF∴半圆线圈受1I的磁力的大小为：2210IIF，方向：垂直1I向右．8-10、一平面线圈由半径为0．2m的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2A，把它放在磁感强度为0．5T的均匀磁场中，求：（1）线圈平面与磁场垂直时（如图），圆弧AC段所受的磁力．（2）线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩．解：（1）圆弧AC所受的磁力：在均匀磁场中AC通电圆弧所受的磁力与通有相同电流的AC直线所受的磁力相等，故有N283.02RBIFFACAC方向：与AC直线垂直，与OC夹角45°，如图．（2）磁力矩：线圈的磁矩为nnISp2m102本小问中设线圈平面与B成60°角，则mp与B成30°角，有力矩mN1057.130sin2mmBpBpM方向：力矩M将驱使线圈法线转向与B平行．8-11、一通有电流1I（方向如图）的长直导线，旁边有一个与它共面通有电流2I（方向如图）每边长为a的正方形线圈，线圈的一对边和长直导线平行，线圈的中心与长直导线间的距离为a23（如图），在维持它们的电流不变和保证共面的条件下，将它们的距离从a23变为a25，求磁场对正方形线圈所做的功．解：如图示位置，线圈所受安培力的合力为])(π2π2[10102axIxIaIF方向向右，从ax到ax2磁场所作的功为)3ln2ln2(π2d)11(π22102210IaIxaxxIaIWaaI1I2xRydFdFxdFyoIACOBACOBACFaaa23I1I278-12、横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为1R和2R，芯子材料的磁导率为，导线总匝数为N，绕得很密，若线圈通电流I，求．（1）芯子中的B值和芯子截面的磁通量．（2）在1Rr和2Rr处的B值．解：（1）在环内作半径为r的圆形回路，由安培环路定理得NIrB2，)2/(rNIB在r处取微小截面rbSdd，通过此小截面的磁通量rbrNISBd2ddΦ穿过截面的磁通量12ln2d2dRRNIbrbrNISBSΦ（2）同样在环外（1Rr和2R