奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用

第46卷第1期2010年1月机械工程学报JOURNALOFMECHANICALENGINEERINGVol.46No.1Jan.2010DOI：10.3901/JME.2010.01.100奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用*赵学智叶邦彦陈统坚(华南理工大学机械与汽车工程学院广州510640)摘要：证明采用Hankel矩阵时奇异值分解(Singularvaluedecomposition,SVD)可以将信号分解为一系列分量信号的简单线性叠加，为了确定其中的有用分量个数，提出奇异值差分谱的概念。差分谱可以有效地描述有用分量和噪声分量的奇异值性质差异，根据差分谱峰值位置可实现对有用分量个数的确定。研究结果表明，当差分谱最大峰值位于第一个坐标时，则表明原始信号存在较大的直流分量，此时根据第二最大峰值位置可以确定有用分量的个数，否则就根据最大峰值位置来确定分量个数。利用差分谱进一步研究Hankel矩阵的结构对SVD降噪效果的影响，指出矩阵列数和噪声去除量存在抛物线状的对称关系。利用基于差分谱的SVD方法对车削力信号进行处理，结果有效地分离出由于主轴箱故障齿轮的振动而引起的调制信号，并根据此信号可靠地定位了故障齿轮。关键词：奇异值分解奇异值差分谱峰值位置降噪车削力信号中图分类号：TH165.3TN911.7DifferenceSpectrumTheoryofSingularValueandItsApplicationtotheFaultDiagnosisofHeadstockofLatheZHAOXuezhiYEBangyanCHENTongjian(SchoolofMechanicalandAutomotiveEngineering,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640)Abstract：It’sprovedthatsignalcanbedecomposedintothelinearsumofaseriesofcomponentsbysingularvaluedecomposition(SVD)whenHankelmatrixisused.Inordertodeterminethepropernumberofusefulcomponents,theconceptofdifferencespectrumofsingularvalueisputforward.Differencespectrumcaneffectivelyreflectthedifferenceofsingularvaluesoftheusefulcomponentsandnoiseones,andthenumberofusefulcomponentscanbedeterminedaccordingtothepeakpositioninthedifferencespectrum.Theresearchresultsshowthatifthemaximumpeakisinthefirstcoordinate,itmeansthatamajordirectcurrentcomponentexistsinthesignalandunderthiscircumstancethenumberofusefulcomponentswillbedeterminedbythesecondmaximumpeakposition,otherwisethenumberofusefulcomponentisdeterminedbythemaximumpeakposition.TheinfluenceofHankelmatrixstructureonnoisereductioneffectofSVDisstudiedbydintofdifferencespectrumandit’spointedoutthatthereexitsaparabolicsymmetryrelationshipbetweenmatrixcolumnandnoiseerasingamount.Onthesebasesthismethodisappliedtotheprocessingofturningforcesignalandthemodulatedsignalcausedbythegearvibrationintheheadstockisisolatedsuccessfully,furthermorethefaultgearislocatedreliablyaccordingtothisisolatedsignal.Keywords：SingularvaluedecompositionDifferencespectrumofsingularvaluePeakpositionDenoiseTurningforcesignal0前言*奇异值分解(Singularvaluedecomposition,SVD)*国家自然科学基金(50875086,50305005)和广州市科技计划(2008J1-C101)资助项目。20090630收到初稿，20091009收到修改稿是一种正交化方法，对于一个实矩阵A∈Rm×n，不管其行列是否相关，必定存在正交矩阵U=(u1,u2,…,um)∈Rm×m和正交矩阵V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n，使得T＝AUDV(1)式中12(diag(,,,),)qσσσLD0＝或者其转置，这取决于mn还是mn，D∈Rm×n，0代表零矩阵，q=月2010年1月赵学智等：奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用101min(m,n)，且有：σ1≥σ2≥…≥σq0，它们称为矩阵A的奇异值[1]。将SVD应用于信号处理的关键是利用信号构造出合适的矩阵。利用一维信号可以构造出很多种矩阵，如Toeplitz矩阵、Cycle矩阵、Hankel矩阵等[2-5]，也可用连续截断信号方式来构造矩阵[6-7]。矩阵构造方式不同，则SVD的信号处理效果就不一样。当采用其中的Hankel矩阵时，SVD可以有效地除去信号中的噪声成分[8-10]。与其他降噪方法相比，SVD方法不像时域平均那样需要预先知道信号的周期，也不像小波分析那样依赖于小波滤波器性能的优劣，更不像自适应降噪那样需要参考输入，它对多谱勒等变频信号也可成功降噪。但是这一方法存在一个关键问题需要解决，那就是需要合理地选择出前面的多个奇异值进行SVD逆运算，如果奇异值数目选择过多，则会使处理结果混进一部分噪声，而选择过少却又会丢掉信号中的有用成分，有时甚至会造成信号波形的畸变。文献[8]较早采用SVD方法进行消噪，但是该文并没有涉及到有效奇异值个数的选择问题，文献[9]在此基础上前进了一步，提出利用奇异熵增量的方法来确定奇异值的个数，但是这一方法不能实现自动判别，还是需要依赖使用者的经验通过分析奇异熵增量后才能确定有效奇异值的个数，因此这一问题并没有从根本上得以解决。为了实现对有效奇异值个数的自动判断，本文提出了奇异值差分谱的概念，利用它来描述信号中有用成分和噪声的奇异值的本质差异，文中研究结果表明，根据差分谱的峰值位置可以准确地确定有效奇异值的个数。通过对信号含直流分量和不含直流分量这两种情形的研究，提出了根据差分谱最大峰值位置对这两种情形进行区分以及确定有效奇异值个数的方法。此法计算简便，可以自动判定，无须依赖使用者的经验。信号处理实例表明，此方法获得的结果既有效地保留了信号中的有用成分，又最大限度地消除了噪声。进一步利用差分谱研究了Hankel矩阵的结构对SVD消噪效果的影响，结果表明随着矩阵列数的增加，噪声去除量先增大后减小，与列数存在抛物线状的对称关系。在这些基础上应用这一方法对车削力信号进行处理，结果分离出了信号中的直流分量，发现了由于主轴变速箱中故障齿轮的振动而引起的车削力信号中的调制现象，进而根据分离出的特征信号可靠地定位了故障齿轮。1Hankel矩阵方式下SVD的信号分解和重构原理设有离散数字信号X=(x(1),x(2),…,x(N))，利用此信号可以构造Hankel矩阵如下(1)(2)()(2)(3)(1)(1)(2)()xxxnxxxnxNnxNnxN⎛⎞⎜⎟+⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−+−+⎝⎠ALLMMML式中1nN。令m=N–n+1，则A∈Rm×n，在有些文献中，此矩阵又称为重构吸引子轨道矩阵[8-10]。在文献[3,8-10]中并没有讨论采用这种矩阵时SVD的信号分解本质，为了搞清楚这到底是一种怎样的分解，将式(1)改写成用列矢量ui和vi表示的形式TTT111222qqqσσσ=+++LAuvuvuv(2)式中ui∈Rm×1，vi∈Rn×1，i=1,2,…,q，q=min(m,n)。由SVD理论可知ui之间是两两正交的，它们构成了m维矢量空间的规范正交基；vi之间也是两两正交的，它们构成了n维矢量空间的规范正交基[1-2]。令Tiiiiσ=Auv，则Ai∈Rm×n。设Ai的第一个行矢量Pi,1表示，而Hi,n是Ai最后一个列矢量去掉其第一个元素后的子列矢量，则从Hankel矩阵的构造过程可知，只要将Pi,1和Hi,n的转置首尾相接，就可以构成一个分量信号Pi，写成矢量形式为T,1,(,)iiin=PPHPi,1∈R1×nHi,n∈R(m–1)×1(3)而所有Ai按照此方式构成的分量就形成了对原始信号的一个分解，分量信号的顺序根据相应的奇异值σi的大小从高到低依次排列。设Ai用行矢量Pi,1,Pi,2,…,Pi,m表示，Pi,m∈R1×n；而原始Hankel矩阵A用行矢量X1,X2,…,Xm表示，Xm∈R1×n，则根据式(2)，A的每一个行矢量显然等于所有Ai的相应行矢量的叠加，则可得11,12,1,1q=+++LXPPP(4)而对于Ai中的列矢量Hi,n，Hi,n∈R(m–1)×1，设A中与之相对应的列矢量用In来表示，In∈R(m–1)×1，则根据式(2)，In等于所有Ai中的相应列矢量Hi,n的叠加，其转置同样也满足此叠加关系，即TTTT1,2,,nnnqn=+++LIHHH(5)根据Hankel矩阵的构造过程，原信号X可用矢量形式T1(,)n=XXI表示，而分量信号Pi也可用矢量形式T,1,(,)iiin=PPH表示，则所有分量信号的和为机械工程学报第46卷第1期期102121,12,1,1(,qq+++=+++LLPPPPPPTTT1,2,,nnqn+++LHHH)而根据式(4)、(5)，上式的右边可改写为T1(,)nXI，故可得12q+++=LPPPX(6)可见采用Hankel矩阵时，SVD的信号分解本质实际上是将原始信号分解为一系列分量信号Pi的简单线性叠加，这种简单线性叠加关系的优点是：一个分量从原始信号中被分离的过程就是从原信号中被简单地减去，这种减法运算将使得分离出来的各分量信号保持它们在原信号中的相位不变，即具有零相位偏移特性。式(6)也是采用Hankel矩阵时SVD的信号重构公式，它的意义还在于，可以选取感兴趣的几个分量进行简单的叠加，从而实现对信号特征信息的提取。在此之前，在文献[3,8-10]中利用SVD降噪时所采取的方式是：保留对角阵D中的有效奇异值，而将其他奇异值置零，然后将此新对角阵代回式(1)进行SVD逆运算以获得另外一个矩阵A′，再通过A′来得到消除了噪声的信号。而式(6)则表明，无须进行SVD逆运算，直接利用分量信号的加减就可获得相应的期望信号，这显然方便多了。2奇异值差分谱的提出含噪声的离散数字信号x(i)可表示为()()()xisiiξ=+i=1,2,…,N(7)式中s(i)为须提取的理想信号，ξ(i)为噪声信号，N为信号长度。则x(i)构造的Hankel矩阵A可表示为sξ=+AAA(8)式中As和Aξ分别为s(i)和ξ(i)所构造的Hankel矩阵，As,Aξ∈Rm×n。Hankel矩阵的特点是：下一行矢量比上一行矢量仅仅滞后1个数据点，因此对于无噪声理想信号所构造的Hankel矩阵而言，其相邻两