建筑力学电子教案-14静定结构的位移计算

第十四章静定结构的位移计算14．1概述一、结构位移的定义结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。二、位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角位移绝对位移相对位移广义位移三、刚架的位移举例A点的线位移A水平线位移AH竖向线位移AV截面A的角位移AC、D两点的水平相对线位移C(D)H=C+DA、B两个截面的相对转角AB=A+B四、引起位移的原因一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、制造误差等五、计算位移的目的有以下三个方面：1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。14.2虚功原理和单位荷载法一、变形体的虚功原理功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度实功：力在自身引起的位移上所作的功当静力加载时，即：FP1由0增加至FP114由0增加至14力Fp1在位移14上作的实功12W14=FP11414虚功：力在其他因素引起的位移上作的功其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲。位移12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移12上作了功，为虚功，大小为W12=FP112在小变形条件下，12由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，FP1单独作用的状态为虚功计算的力状态。当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。虚功原理也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。二、单位荷载法1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。2、计算结构位移的一般公式MK=duFK+RiCi=d+N+QFFFdv式中，F=1则Md+FduN+FdvQ—FRiCi经进一步推导，可得NNPPKFFMMdsdsEIEAQQPRiiFFdsFCGA＋式中：E弹性模量；G剪切模量；A横截面积；I截面惯性矩；k截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。14.3静定结构在荷载作用下的位移计算一、静定结构在荷载作用下的位移公式如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移＝0，位移公式则为CiNNPPKPQQPFFMMdsdsEIEAkFFdsGA对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为QNQPNPPKPkFFFFMMdsdsdsEIEAGANNPPMFFMdsdsEArEAr＋弯矩的影响轴力的影响剪力的影响曲率的影响图a所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载FP作用下的竖向线位移由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：MNQrBPQ:N:r=1200:1:3:2设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数=1.2，计算结果为212124PBPFrrEkEAhG12001324PFrEABP中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四部分之比M:=二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度PKPMMdsEI（2）桁架各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式NNNPNPKPFFFFdsdsEAEANNPKPFFlEA（3）组合结构既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项NNPPKPFFlMMdsEIEA（4）拱一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计NNPPKPFFlMMdsEIEA三、虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d，每一力的大小为1/d力和力偶统称为广义力，单位广义力用X=1表示线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反（2）计算F,FNP;四、静定桁架的位移计算计算步骤为（1）设虚拟状态；（3）用桁架的位移计算公式计算位移。例14-1图示桁架各杆的EA相等，求C结点的竖向位移vc解:（1）设虚拟状态（如上图b所示）（2）计算FN和FNP（标于上图b.a）222212112222422NNVCPPPPFFlEAFaEAFaFaFaEA（3）代公式求C点的竖向位移例14-2图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位cm2）。许可挠度与跨长的比值1800wl，试校核桁架的刚度。解对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度校核。1）建立虚拟状态（如图b所示）2）计算FN和FNP，并标于图b、a上3）求3点的竖向位移，进行刚度校核31NNPNPNPFFllFFEAEAN/(1/mm)/mm计算半个桁架的NNPlFFA，列表如下:lAF/(/)NPNFFlNmmA1420000003-7竖杆002-6竖杆312500+0.62525000025000100003-6斜杆500000-0.625-10000000.812500100001-6斜杆270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦FNP/NA/mm2编号杆件max312142000013.5210000NPNPlwFFmmmmEAmax13.51240001775wmmlmm1800wl根据上表，得所以，桁架满足刚度条件五、梁的位移及刚度校核1、梁的位移挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用w表示，规定w向下为正。转角：横截面的角位移，规定顺时针转为正在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表14.1所示），可供计算时查用。表14.1梁的挠度与转角公式22PBFlEI3max3PFlwEIBMlEI2max2MlwEI2.悬臂梁弯曲力偶作用在自由端1.悬臂梁集中荷载作用在自由端最大挠度转角荷载类型续表36BqlEI4max8qlwEI2labA216PBFlEIab2l3max48PFlwEI时4.简支梁集中荷载作用跨中位置上3.悬臂梁均匀分布荷载作用在梁上－时6简支梁弯曲力偶作用在梁的一端5简支梁均匀分布荷载作用在梁上A324BqlEI4max5384qlwEI6AMlEIB3MlEI2max93MlwEI3lx-（在处）续表-2．梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比wl为标准在工程上，吊车梁的＝1/600wl铁路钢桁梁的＝1/900wl梁的刚度条件为:maxwwll例14-3图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处承受集中载荷Fp。已知Fp=40KN，跨度l[]l=3m，许用应力=160MPa，许用挠度[w]=/500，弹性模量E=2×105MPa，试选择工字钢的型号。解（1）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：max4PFlM3340103104Nmm＝7310Nmm＝按弯曲正应力强度条件选截面max7max5333101601.87510187.5MWMNmmWMPammcm查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4（2）校核梁的刚度3335744010(3000)48482102.3710pFlNmmwEIMPammw30006500mmmm=4.75mm[]=梁的刚度足够所以，选用20a工字钢3、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度L、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：(1)增大梁的抗弯刚度EI增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I值，一般不采用增大E值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I。（2）减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L值：①增加中间支座45384aqlfEIbf38１af而②两端支座内移如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。(3)改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。14.4图乘法一、图乘法原理1、图乘法的适用条件：（1）杆段的轴线为直线（2）杆段的弯曲刚度EI为常数直梁和刚架的位移公式则为001llppMMdsMMdxEIEI（3）MP图和图中至少有一个直线图形２．图乘法原理dPMMsEI1dPMMsEI1tandPxMxEItandPxMxEItan1BDcBDcAxAyEIEI图乘法求位移的一般表达式为1CAyEI注意：[1].应取自直线图中[2].若与在杆件的同侧,取正值;反之,取负值[3].如图形较复杂，可分解为简单图形.cyAcy3.图乘法的步骤:(1).设虚拟状态；PMM(2).画图、图；(3).图乘求位移下面介绍几个规则图形的面积和形心位置当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。4.图形的分解梯-梯同侧组合：112211[]1112121[()()]233233CCCAyAyAyEIEIlaedlbedEI同侧组合：112211[]1111[()(-b)(d(-d)223CCCAyAyAyEIEIlbdelaeEI〕1122111121121()()233233CCCAyAyAyEIEIladelbedEI异侧组合由区段叠加法作的弯矩图，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规