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2020届福建省厦门外国语学校高三上学期第一次月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．已知集合,，则等于A．B．C．D．R2．已知命题：，有，：，，则在命题：；：；：和：中，真命题是A．，B．，C．，D．，3．设，，，则A．B．C．D．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．5．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为A．B．C．D．6．已知，函数在上递减，则的取值范围是A．B．C．D．7．函数xeyx的图像大致是A．B．C．D．8．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则A．B．C．D．9．已知函数且那么下列命题中真命题的序号是①的最大值为；②的最小值为；③在上是减函数；④在上上是减函数.A．①③B．①④C．②③D．②④10．定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为A．B．C．D．11．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号12．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题13．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围为________．14．已知是两个不共线的非零向量，且与起点相同．若，，三向量的终点在同一直线上，则________.15．已知函数32()31fxaxx，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围是___________．16．已知函数f(x)＝4sin(2x＋)(0≤x≤)，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1x2x3…xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝________．三、解答题17．设向量，，。（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；18．在中，角的对边分别是,,且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.19．设，其中为正实数．（1）当时，求的极值点；（2）若为R上的单调函数，求的取值范围．20．我国西部某省级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按天计算）每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．(1)求该村的第x天的旅游收入,并求最低日收入为多少？（单位：千元，，）；(2)若以最低日收入的作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21．（本题12分）已知定义在区间,2上的函数()yfx的图像关于直线4x对称，当4x时，函数sinyx．（1）求(),()24ff的值；（2）求()yfx的表达式；（3）若关于x的方程()fxa有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为aM，求aM的所有可能取值及相应a的的取值范围．()fx0x0xa22．已知函数．(1)若，使得不等式成立，求实数的取值范围；(2)设函数图象上任意不同的两点为，，线段的中点为，记直线的斜率为，证明：．2020届福建省厦门外国语学校高三上学期第一次月考数学（文）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】分析集合可得，A={y|y0}，B={y|0y1}；进而由并集的性质，可得答案．【详解】由对数函数的性质,当x1时,有y=0,即A={y|y0}，由指数函数的性质,当x1时,有01,即B={y|0y1}；则A∪B={y|y0}，故选B.【点睛】本题主要考察集合的运算，属于高考必考题，注意集合代表元素，熟悉指数对数的图像是作答本题的关键2．C【解析】【分析】首先确定命题p1，p2的真假，然后考查所给复合命题的真假即可求得最终结果．【详解】由指数函数的性质可得命题p1:∀x∈(0,+∞),有3x2x，，是真命题，p2:，则，是假命题，考查所给命题的真假：:p1p2是真命题；是假命题；:是假命题；:是真命题；综上可得,真命题是q1,q4.故选：C.【点睛】这是一道考察命题真假的题目，解题的关键是利用逻辑连接词的真值表，另外命题内容涉及的的内容较广，熟悉各模块知识是解决本题有力的工具3．D【解析】试题分析：，结合函数图像可知考点：三角函数基本公式及比较大小4．D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5．C【解析】【分析】首先根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，据此即可求出函数的定义域；计算可知，二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，结合对数的性质以及复合函数单调性可知f(x)的单调递增区间为（2，5）；为其子区间。【详解】根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，解得-1＜x＜5.因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为（2，5），要使函数在区间内单调递增，只需解关于m的不等式组得≤m＜2.故选C.【点睛】本题考查复合函数的单调性，遵循同增异减的原则。由对数函数和二次函数的性质可得单调递增区间，让所给的的区间为其子区间构造不等式即可，解答本题的过程中需要时刻注意定义域问题。6．B【解析】【分析】通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．【详解】令：不合题意排除D，合题意排除A,C，故选B【点睛】本题主要考察三角函数的单调性问题，涉及求取值范围的问题，通过特殊值法是一个很巧妙的方法，在做题的过程中达到即快，又准又狠的目标，在带入特殊值的过程中我们需要对选项进行分析选取特殊值即可。7．C【解析】2101xexyxx，所以当1x时，函数单调递增，舍去B;当01x时，函数单调递减，舍去A;当0x时，函数单调递减且0y，舍去D;选C.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“”f，即将函数值的大小转化自变量大小关系8．D【解析】∵，∴，∴，∴的周期为，∴，，，又∵奇函数在区间上是增函数，∴在区间上是增函数，∴，故选D.点睛：考查函数的周期性。单调性，将要比较的函数值化到同一单调区间；9．B【解析】【分析】可求出的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【详解】的导数f′(x)=cosx−又，∴函数f(x)在[0,]上是增函数,f(x)在[,π]上是减函数∴f(x)的最大值为f()由此知①④是正确命题故答案为①④【点睛】这是一道导数应用的题目，关键掌握利用导数判断函数单调性的方法，熟悉导函数与原函数的关系；另外在求最值的过程中我们需要知道原函数的单调性才能准确判断最值在哪取得，而导函数是判断单调性很有利的工具10．B【解析】【分析】令F(x)=2f(x)−x，然后根据导数符号研究函数的单调性，从而得到变量x的不等式，结合，解之即可．【详解】令F(x)=2f(x)−x则F′(x)=2f′(x)−10∴F(x)在R上单调递增∵F(1)=2f(1)−1=2−1=1,2f(x)x+1∴F(x)=2f(x)−x1=F(1)即x1故满足2f(x)x+1的x的集合为为{x|x1}故选B.【点睛】本题主要需要利用导数判断函数单调性的方法，本题的突破口在于，和，构造新函数，利用导数得出单调性的结论。11．B【解析】试题分析：当时，，，当时，，，故选B.考点：三角函数12．B【解析】【分析】对任意的，，都有成立，等价，求出，再进一步利用参变分离，构造新函数，求出单调区间和最值，即可求出a的取值范围【详解】由于，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，，．由于任意，，恒成立，所以，即时，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，而，当时，，所以在单调递减，由于，所以时，，时，，所以，即．【点睛】这类型的题目，首先需要利用对所给不等式进行最值问题转化，注意能成立和恒成立之间的区分，在导数中解决能成立，恒成立和零点问题优先考虑参变分离的方法。然后构造新函数转化求最值问题，这其中导数取到很关键的作用13．【解析】【分析】由已知得当时，y=∈（0，1），由不等式恒成立，得a＞1且1≤loga2，由此能求出实数a的取值范围．【详解】∵函数y=在区间(1,2)上单调递增，∴当x∈(1,2)时,y=∈(0,1)，若不等式logax恒成立，则a1且1⩽loga2解得a∈(1,2]，【点睛】本题考查我们很熟知的二次函数和对数函数的综合，队恒成立问题的转化即可转化成最值问题，然后利用单调性去求出参数取值范围即可14．【解析】【分析】利用向量共线基本定理得出+，化简(λ−)+(t−λt−)=，由是两个不共线的非零向量得出系数分别为0，构造方程组，即可解出t【详解】设+，化为(λ−)+(t−λt−)=，∵是两个不共线的非零向量，且与起点相同，∴λ−,t−λt−解得λ=,t=.∴当t=时,，，三向量的终点在同一直线上。【点睛】本题主要考察向量共线基本定理，首先根据向量三角形法则表示出在同一条直线上任意两向量，然后运用向量共线条件去解决问题。15．(,2)【解析】试题分析：根据题意，可知0a，2'()363(2)fxaxxxax，当0a时，函数在(,0)上单调增，有一个零点10x不合题意，当0a时，()fx在2(,)a上单调减，在2(,0)a上单调增，在(0,)上单调减，所以要想满足条件，等价结果为32284()310faaaa，解得2a，所以的取值范围是(,2)．考点：函数的零点问题，参数的取值范围．16．【解析】【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．【详解】令2x+=+kπ得x=+,k∈Z,即f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z.∵f(x)的最小正周期为T=π,0⩽x⩽，∴f(x)在(0,)上有30条对称轴，∴x1+x2=2×,x2+x3=2×,x3+x4=2×,…,xn－1＋xn=2×，a将以上各式相加得：x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn=2×(+++…+)=2××30=445π，故答案为：445π.【点睛】本题属于三角函数的性质和图像的综合类题目，主要利用三角函数的对称轴和周期来解决问题，利用对称轴算出相邻两个函数值的关系，然后利用周期算出在所求范围内容有多少个交点，再利用等差求和即可解决问题17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若与垂直，，得出，即可求出；（2）先表示出，利用三角函数的有界性求出最值【详解】（1）∵与垂直，∴，∴。（2）由，得，当即时，等号成立，所以的最大值为。【点睛】本题属于三角函数的向量的结合，重点利用向量