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二、因数和倍.1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。2、因数、倍数：在整数除法中，被除数÷除数=商，商是整数没有余数时，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例：12÷6=2中，12是6和2的倍数，6和2是12的因数。（1）a能被b整除，也就是a除以b得到一个整数，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。例如：找16的因数，因为1×16=162×8=164×4=16所以16的因数有1,2,4,8,16这5个。注意两个4只写一个4，写一个数的因数时候不能重复也不能遗漏。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。例如：找7的倍数，可以用7×1=7,7×2=14，7×3=21，7×4=28，……所以7的倍数有7,14,21,28……等。一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。因数小于或等于它本身，倍数大于或等于它本身，一个数的最大的因数和它的最小的倍数相等，都等于它本身。（4）2、3、5的倍数特征1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。这样的数也叫做偶数（0也是偶数）。不是2的倍数的数叫做奇数。2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3）个位上是0或5的数，是5的倍数。同时满足2、3的倍数，实际是求2×3=6的倍数。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。判断一个数是不是2或者5的倍数，看这个数的个位，判断一个数是不是3的倍数，要看这个数每个数位上的数字之和是不是3的倍数。4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0.关系：奇数+偶数=奇数奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数。5、质数和合数质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。2、3、5、7和11；13后面是17；19，23、29、31、37、41；43、47、53；59、61、67；71、73、79；8389、97；25个质数不能少；百以内质数心中记。找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。6、最大、最小的常见数一个数的最小因数是：1；一个数的最大因数是：它本身；一个数的最小倍数是：它本身；最小的自然数是：0；；最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；最小的合数是：4第三单元长方体和正方体•1、长方体：一般由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。•长方体特点：•（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。•（2）一个长方体一般有6个面是长方形。有时有两个相对的面是正方形，剩下的四个面是大小相同的长方形。2、正方体：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体特点：（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4长=棱长总和÷4－宽－高宽=棱长总和÷4－长－高高=棱长总和÷4－长－宽正方体的棱长总和=棱长×12正方体的棱长=棱长总和÷124、长方体正方体的表面积：长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：S=a×a×6或者S=6a2生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大n倍，表面积会扩大n2倍。（例如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的32倍）。5、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长×宽×高V=abh长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示：V=Sh体积=底面积×高V=Sh底面积=体积÷高S=V÷h高=体积÷底面积h=V÷S注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。6、箱子、油桶、仓库等容器所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。物体所占空间的大小用体积表示，如果计量一个容器能容纳的液体的体积的多少，则用容积表示。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升（1L=1dm31ml=1cm3）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。容积要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，严格的讲体积大于容积。）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大n倍，体积就会扩大n3倍。（例如如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的23倍）。*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法求不规则物体的体积的公式：V物体=V现在－V原来也可以V物体=S×(h现在-h原来)V物体=S×h升高×进率【单位换算】大单位小单位÷进率小单位大单位单位改小，数字就会变大，乘进率；单位改大，数字就会变小，除以进率。长度单位：1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=10分米=100厘米=1000毫米（相邻单位进率10）面积单位：1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米（平方相邻单位进率100）1平方千米=100万平方米质量单位：1吨=1000千克1千克=1000克人民币：1元=10角1角=10分1元=100分第四单元分数的意义和性质1、单位“1”：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（有时也叫标准量）2、分数的意义：把这个整体（单位“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫做分数。3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。例如：表示把单位“1”平均分成（7）份，表示其中（2）份的数，它的分数单位是（），再加上（5）个这样的分数单位就是1。724、分数与除法被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。被除数÷除数=被除数除数a÷b=ab(b≠0)因为0不能作除数35米可以理解为：1米的即把（1）米平均分成（5）份，表示其中的（3）份；3米的即把（3）米平均分成（5）份，表示其中的（1）份；也就是3÷5=5、真分数和假分数、带分数1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧13、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，如：=10÷5=2=21÷5=4余1=4余数1作为带分数分子（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子如：2=（多少）÷4=2，（多少）=4×2=8，（8作分子）（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：5=5×5+1=26，26作为假分数的分子。（4）分子和分母相同的分数可以转化成1。如：1====…5105215148）（51526）（22441001007、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1（分子和分母为互质数），像这样的分数叫做最简分数。7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1（分子和分母为互质数），像这样的分数叫做最简分数。9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：=3024547、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）8、短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：30和45的最大公因数是3×5=15.30和45的最小公倍数是3×5×2×3=903045310155239、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸两个数不是倍数关系，且其中一个数是质数。10、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，再把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。11、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。8、短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：30和45的最大公因数是3×5=1530和45的最小公倍数是3×5×2×3=903045310155239、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分（分子和分母同时除以同一个不为0的数。如：=10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：和可以化成和*约分和通分都是利用分数的基本性质。302454524120820511、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……如：0.3=0.03=0.003=（2）分数化为小数：方法一：把分数化为分母是10、100、1000……如：=0.3==0.6=0.25方法二：用分子÷分母如：=3÷4=0.75（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数如：2=2+0.3=2.310310031000310310653100254310312、比较分数的大小：分母相同，看分子，分子大，分数就大；分子相同，看分母，分母小，分数反而大。假分数大于真分数分数比较大小的一般方法：同分子比较；化成分子相同的分数比较大小通分后比较；化成分母相同的分数比较大小化成小数比较。分数化成小数比较大小