激光光学课件第二章1-3节【精选】

第二章光学中的矩阵方法2.1变换矩阵ABCD定律2.2变换矩阵示例2.3几何光学中的矩阵方法2.4复杂光学系统的菲涅耳数和程函数2.5ABCD矩阵的分解2.6共轴球面腔的约束稳定性2.7光腔的本征方程微扰稳定性2.8多程反射室2.1变换矩阵ABCD矩阵一、空间近轴光线的变换图2.1.1空间近轴光线的传输如图2.1.1所示，空间光线经过任意光学系统变换后的位置和方向用四个量表示。对近轴光线，都很小，选择适当的坐标系可以使这种变化是线性的，于是可以用一个4Χ4的变换矩阵表示为：yxθθ，（2.1.1）式2.2.1是用几何方法研究空间近轴光线变化的基本方程，变化矩阵一般是4Χ4的，但对于轴对称光学系统，和经历的变化相同，只需要一个2Χ2矩阵（称为轴对称光学系统的变化矩阵或者ABCD矩阵）如2.1.2来描述这一变化：（2.1.2）（2.1.3）),(xx),(yyyxyxyxDDCCDDCCBBAABBAAyx22212221121112112221222112111211''''DCBAMxxxDCBAx''即（2.1.4）式中式（2.1.3），（2.1.4）或（2.1.5）都是近轴光线ABCD定律的数学表示式。对于近轴球面波，曲率半径R等于可简写为（2.1.5）（2.1.6）（2.1.7）由式（2.1.4）立即可得（2.1.8）XMX'xxRDCRBARR'xBAxx'xxDCx'xxX'''xxX或RBARDC//'R1（2.1.9）式（2.1.8），（2.1.9）都称为球面波的ABCD定律。若光纤顺次通过变换矩阵为的光学系统，利用矩阵乘法规则得到（2.1.10）式中（2.1.11）11111DCBAM22222DCBAMxxxDCBAx''11112222DCBADCBADCBA简写为（2.1.12）式（2.1.10）又可写为（2.1.13）二、符号规则（1）对x（光线离轴距离）、θ（光线与光轴夹角）正负号规定如图2.1.2，即光轴上方为正，下方为负，光线出射方向指向光轴上方为正，指向下方为负。图2.1.2x、符号法则示意图θ12MMMMXXMMX12'（2）反射面曲率半径ρ，对凸面反射镜ρ0，对凹面反射镜ρ0.（3）反射面曲率半径ρ，对凸折射面ρ0，对凹折射面ρ0.（4）球面波波面曲率半径R，对发散球面波R0,会聚球面波R0.（5）光学元件和系统的长度量，如光学系统的基点（基面）位置，物距和像距等，情况比较复杂，将在后面结合具体问题说明。（6）公式中文字符号均表示代数量。注意：对公式中物理量的正负号或数值运算结果出现正负号问题最好除使用确定的符号规则外，还应当从物理角度加以分析和取舍，才能得出正确的结果。三、变换矩阵的基本性质1.detMABCD矩阵一个重要性质是它的行列式之值detM仅由入射光线和出射光线所在空间折射率决定，即当入射光线和出射光线位于折射率相同空间时（2.1.14）（2.1.15）21nn、21/detnnBCADM1detBCADM2.ABCD矩阵的反向变换矩阵和逆矩阵若规定由左向右光线传输方向为正，当光线由右向左即反向传输时有（2.1.16）式中为的逆矩阵，由矩阵代数知（2.1.17）DCBA1111111001xxx2211001xDCBA22110011001xDCBA1DCBAMACBDDCBAMdet11将式（2.1.17）代入（2.1.16），得到（2.1.18）式中反向变换矩阵为M（2.1.19）讨论：（1）detM=1时（2.1.20）（2.1.21）（2）折射率突变平界面由表2.2.1知2211xMxMACBDMdetACBDM1ACBDM（2.1.22）则（2.1.23）（2.1.24）四、归一化变换矩阵空间光线在横平面上的位置x，y和方向可用正则坐标、和正则动量、来描述：xqyqypxpxqxyqy21/001nnM121/001nnM100/12nnM22dzdydzdx1dzdxn）（）（22dzdydzdx1dzdyn）（）（（2.1.25）式中n为介质折射率。在近轴近似下有（2.1.26）与式（2.1.1）、（2.1.3）相应的变换公式分别为（2.1.27）xxndzdxnpyyndzdynpypxp1111222122211211121122212221121112112222~~~~~~~~~~~~~~~~yxyxyxyxppqqDDCCDDCCBBAABBAAppqq（2.1.28）且（2.1.29）式中（2.1.30）称为归一化变换矩阵。当入射空间和出射空间折射率和不相等时，使用归一化变换矩阵是比较方便的，证得式（2.1.2）和式（2.1.30）矩阵元间有关系：1n2n~AA~1BnB2~/CnC~21DnnD（2.1.31）111122~~~~~xxxxxxpqMpqDCBApqDCBAM~~~~~1~~~~~detCBDAM第二章光学中的矩阵方法2.1变换矩阵ABCD定律2.2变换矩阵示例2.3几何光学中的矩阵方法2.4复杂光学系统的菲涅耳数和程函数2.5ABCD矩阵的分解2.6共轴球面腔的约束稳定性2.7光腔的本征方程微扰稳定性2.8多程反射室2.2变换矩阵示例举例说明变换矩阵推导方法（1）光线通过距离的自由空间（n=1）由图2.2.1可得：图2.2.1自由空间传输图2.2.2球面反射lx'x'所以（2.2.1）（2.2.2）l101lM（2）球面反射如图2.2.2，设球面反射曲率半径为ρ，考虑球面上A点，由反射定律知入射光线与反射光线间有关系）（,x）（','xxx'x2'（2.2.3）故（2.2.4）因为焦距的薄透镜对近轴光线的折射与曲率半径为ρ凹面镜对同一近轴光线的反射室等效的，所不同的仅仅是传输方向而已，于是得到薄透镜对近轴光线的变换矩阵)0(2f（2.2.5）1201M1101fM（3）调焦望远镜系统由图2.2.3，利用式（2.2.1）、式（2.2.5）（2.2.6）式中（2.2.7）为望远镜系统的放大镜，21ffl（2.2.8）为望远镜系统的两透镜间的距离。12ffMT110110111011212ffffMTTMlM10（4）薄透镜序列（i）谢尔威斯特（Sylvester）定理设矩阵满足1detBCADM则有（2.2.9）（2.2.10）式中2cosDA（2.2.11）（ii）薄透镜序列图2.2.4薄透镜序列DCBAM)1sin(sinsinsin)1sin(sinsin1mmDmCmBmmADCBAMmm图2.2.4中由m个焦距为f，间隔均为L的薄透镜组成的序列，其中一个单程的变换矩阵为（2.2.15）于是MmfLfLfLfLMMMMm由谢尔威斯特定理得到（2.2.16）（2.2.17）式中fL21cos（2.2.18）fLfLLfMfL1111011101)1sin(sin)1(sin1sin)1sin(sinsin1mmfLmfmLmmM第二章光学中的矩阵方法2.1变换矩阵ABCD定律2.2变换矩阵示例2.3几何光学中的矩阵方法2.4复杂光学系统的菲涅耳数和程函数2.5ABCD矩阵的分解2.6共轴球面腔的约束稳定性2.7光腔的本征方程微扰稳定性2.8多程反射室2.3几何光学中的矩阵方法一、几何成像的ABCD定律图2.3.1几何成像系统的矩阵表示图2.3.1中，参考面，设其变换矩阵为，在折射率的物空间中与相距u的入射面上的光线经该光学系统变换后，在折射率的像空间中与相距处对应光线矢量为，由总的变换矩阵为21RPRP、1RP1n2n2RP）（vdcba11x22x2211xx（2.3.1）（2.3.2）式（2.3.1）可称为几何成像的特性矩阵，若B＝0，由式（2.3.2）知12Axx（2.3.3）这表示在物空间中入射面上，在近轴条件下可取任意值的光线，经该光学系统变换后，在像空间中会聚于出射面上的同一点处。显然，B＝0即为几何光学意义下的成像条件，此时入射面和出射面构成一对物像共轭面，u和分别为物距和像距。在式（2.3.1）中令B＝0，得txcons11θ12Axx）（vdcubauv（2.3.4）这即几何成像的ABCD定律。dcucdcuvbaucvaudcbavDCBA)(1011011122xDCBAx二、三个放大率公式和拉格朗日—亥姆霍兹不变式1.角放大率在式（2.3.2）中令C＝0，得12D（2.3.5）按角放大率定义，有1MdcuDM121（2.3.6）2.横向放大率在式（2.3.2）中令B＝0，得12Axx（2.3.7）由横向放大率定义，有2McvaAxxM122（2.3.8）3.轴向放大率轴向放大率通常是用导数定义的，即3MdudvM3（2.3.9）由式（2.3.2）和式（2.1.14），得123MMdcucvaM（2.3.10）4.拉格朗日—亥姆霍兹不变式由式（2.3.6）和式（2.3.8）21121221))((nncvadcuxxMM（2.3.11）故222111xnxn（2.3.12）这即几何光学中著名的拉格朗日—亥姆霍兹不变式。三、高斯光学基本参数的变换矩阵元表示高斯光学的基本参数为物像空间中共轭的焦点、主点和节点（基点），或其所在的平面（基面），即焦面、主面和节面，它们都可用变换矩阵元的形式简单表示出来。1、角放大率在式（2.3.2）中令D＝0，得12cx（2.3.13）说明物空间入射面上，取任意值的近轴光线，经变换矩阵的光学系统后，在像空间出射面上成为平行光线。显然，这时入射面为物方焦面。以为参考，物方焦面位置为constx111RPcds1（2.3.14）在式（2.3.2）中令A=0，得12Bx（2.3.15）类似的推理得知，这时出射面为像方焦面，以为参考，像方焦面位置为2RPcas2（2.3.16）dcba2、主面主面为横向放大率的平面（称主面、常称为反主面。对主面“+”号常略去），由式（2.3.1）知，应有12M21HH、12M12M0,1BA（2.3.17）由此得物、物方主面位置（分别以为参考）21RPRP、cnndh/)(211cah/)1(2（2.3.18）3、节