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第2章常用逻辑用语2.1命题、定理、定义必备知识·自主学习1.命题(1)定义:可判断真假的陈述句叫作命题.(2)一般形式:“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论.导思1.命题是如何定义的?2.命题的一般形式是什么?3.定理、定义的含义是什么?【思考】根据命题的定义思考,命题可分为哪几类?提示:一类是判断为真的命题,即真命题;另一类是判断为假的命题,即假命题.2.定理的含义(1)已经被证明为真的命题;(2)可以作为推理的依据而直接使用.3.定义的含义和特点(1)含义:对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.(2)特点:用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.()(2)定理都是真命题.()(3)命题“当x∈R时,x2是正数”是真命题.()提示:(1)√.命题都是陈述句.(2)√.定理是已经被证明为真的命题.(3)×.当x=0时x2=0,故此命题是假命题.2.(教材二次开发:例题改编)将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果p,那么q”的形式:________.【解析】如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0.答案:如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0.3.给出下列命题:①;②5能被3整除;③若ab是正整数,则a,b都是正整数;④若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点.其中真命题的序号为__________.【解析】①是真命题;②是假命题,5不能被3整除;③是假命题,例如a=-1和b=-2时ab是正整数,但a,b都是负整数;④是真命题.答案:①④32关键能力·合作学习类型一命题的概念(数学抽象)【题组训练】1.下列语句:①65;②作射线OP;③sin30°=;④x2-1=0有一个根是-1;⑤x10.其中是命题的是()A.①②③B.①③④C.③D.②⑤122.下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?(1)x∈{0,1,2,3};(2)当x=5时,x-30;(3)直角三角形两锐角互余;(4)求证:x∈R时,方程x2-x+1=0无实数根.【思路导引】1.根据命题的定义逐个判断;2.依据是否是陈述句,是否可以判断真假逐个判断.【解题策略】判断一个语句是否为命题的三个关键点(1)一个语句是命题首先必须是陈述句;(2)语句表述的内容可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题;(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假.若能,就是命题;否则就不是命题.【补偿训练】下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?(1)求证:是无理数;(2)你是高二学生吗?(3)x2-3x-4=0;(4)若a=b,则a2=b2.3类型二命题的结构形式(数学抽象)【典例】1.写出下列命题的条件和结论:(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分;(3)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;(4)如果a,b两数的积为0,那么a,b两数都为0.2.将下列命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.(1)绝对值等于它本身的数是正数.(2)等边三角形是锐角三角形.(3)平行于同一直线的两直线平行.(4)在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.【思路导引】1.已经表示为“若p,则q”(或“如果p,那么q”)形式的命题,p是命题的条件,q是命题的结论.2.先明确命题的条件和结论,再改写形式.【解题策略】1.将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则2.命题改写中的注意点若命题不是以“若p,则q”这种形式给出时,首先要确定这个命题的条件p和结论q,进而再写成“若p,则q”的形式.【跟踪训练】1.命题“若两个角的两边互相垂直,那么这两个角相等”的条件p:______,结论q:______.【解析】条件是“两个角的两边互相垂直”,结论是“这两个角相等”.答案:两个角的两边互相垂直这两个角相等2.将下列命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.(1)有限小数一定是有理数.(2)直角都相等.(3)偶数是4的倍数.(4)三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和.【补偿训练】将下列命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.(1)对角线互相垂直的四边形是菱形.(2)同角的余角相等.(3)整数一定是有理数.类型三判断命题的真假(逻辑推理)【典例】1.能说明命题“若a2b2,则ab”为假的反例是()A.a=-2,b=1B.a=3,b=-2C.a=0,b=1D.a=2,b=12.下列命题中,可判断为真的是()A.{1,2},{2,1}是两个集合B.{(0,2)}中有两个元素C.是有限集D.是空集6{xQ|N}x2{xQ|xx20}3.判断下列命题的真假:(1)若实数a,b是集合A中两个元素,则a≠b;(2)若x∈A,则x∈(A∪B);(3)若x∈R,则x2+2x+1≥0;(4)如果两个角的两边互相平行,这两个角一定相等.【思路导引】1.反例是满足题目条件,但结论不成立;2.依据集合的表示方法及Q,N的含义逐个判断;3.真命题要依据已知定理和结论证明,假命题只要举一个反例.【变式探究】例3(4)中“互相平行”改为“互相垂直”,应如何判断?【解析】如图,∠1与∠2的两边互相垂直,但是∠1≠∠2.【解题策略】判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.(2)要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可.【跟踪训练】判断下列命题的真假:(1)三角形的内角和是180°;(2)若x,y互为倒数,则xy=1;(3)如果a是有理数,则a2+10;(4)菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形.【补偿训练】判断下列命题的真假:(1)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;(2)若实数集的子集A是有限集,则A中的元素一定有最大值;(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若ab,则∠A∠B;(4)正偶数不是质数.课堂检测·素养达标1.下列语句中,是命题的个数是()①|x+2|;②-5∈Z;③π∉R;④{0}N.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①不能判断真假,不是命题;②③④能判断真假,是命题.2.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是()A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D.这个四边形是平行四边形【解析】选C.把命题改写成:若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直,由此可知C正确.3.(教材二次开发:练习改编)将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为______________________________.【解析】若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除.答案:若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除4.下列语句:(1)2+2是有理数;(2)1+12;(3)2100是个大数;(4)968能被11整除;(5)流感病毒是怎样传播的?其中是命题的是________.25.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假:(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0;(3)已知x,y为正整数,当y=x+1时y=3,x=2.