保留非线性潮流算法

电力系统稳态分析东南大学电气工程系四保留非线性潮流算法电力系统稳态分析东南大学电气工程系0.引言更加精确的数学模型考虑泰勒级数高阶项保留非线性潮流算法泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项极坐标形式直角坐标电力系统稳态分析东南大学电气工程系1.保留非线性快速潮流算法1.1数学模型采用直角坐标形式的潮流方程为采用直角坐标，潮流问题实际上就是求解一个不含变量一次项的二次代数方程组。222()()iijijijijijijijijjiiijijijijijijijijjiiiiPGeeBefGffBfeQGfeBffGefBeeUef电力系统稳态分析东南大学电气工程系对模型的几点说明泰勒展开的二阶项系数已经是常数取泰勒展开的三项将得到无截断误差的精确展开式从理论上，取初值后，如能从展开式求解修正量，则一步便可以求得方程的解。电力系统稳态分析东南大学电气工程系奇次二次方程表示的潮流方程（1）定义如下：n维未知变量向量x＝[x1,x2,…,xn]Tn维函数向量y(x)＝[y1(x),y2(x),…,yn(x)]Tn维函数给定值向量ys＝[y1s,y2s,…,yns]T一个具有n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为yi(x)＝[(a11)ix1x1+(a12)ix1x2+…+(a1n)ix1xn]+[(a21)ix2x1+(a22)ix2x2+…+(a2n)ix2xn]+…+[(an1)ixnx1+(an2)ixnx2+…+(ann)ixnxn](4－1)电力系统稳态分析东南大学电气工程系奇次二次方程表示的潮流方程（2）于是潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式或12snxxxxxyyxAx()(4－2)(4－3)s()()0fxyxy电力系统稳态分析东南大学电气工程系奇次二次方程表示的潮流方程（3）系数矩阵为：111121112112212111211112122122122222212222111212122212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2nnRA(4－4)电力系统稳态分析东南大学电气工程系1.2泰勒级数展开式对式(4-1)在初值x(0)附近展开，可得如下没有截断误差的精确展开式:002011112nnniiiijjkjjkjjkyyyyxxxxxxxxxxxx()()()()()!(4－5)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（2）于是与式（4－2）对应的精确的泰勒展开式为：12012snxxxxxyyxJxHx()式中：∆x＝[x-x(0)]＝[∆x1,∆x2,…,∆xn]T为修正量向量。(4－6)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（3）式中：0111122221212nnnnnnyyyxxxyyyxxxJyyyxxxxx()nnRJ(4－7)J即雅可比矩阵电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（4）H是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。2nnRH(4－8)式(4-6)略去第三项，就成通常的牛顿法展开式222222222111111111111212122212222222222222222222111212122212nnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxH222222222111212122212nnnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxx电力系统稳态分析东南大学电气工程系式(4-6)第三相相当复杂，以下将证明可将（4－6）写成：ys＝y(x(0))＋J∆x＋y(∆x)泰勒级数展开式（5）(4－9)12012snxxxxxyyxJxHx()(4－6)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（6）将xi写成xi＝xi(0)＋∆xi，于是xixj＝(xi(0)＋∆xi)(xj(0)＋∆xj)＝xi(0)xj(0)＋xi(0)∆xj＋xj(0)∆xi＋∆xi∆xj将上式代入(4-2)，则在x(0)附近,式(4-2)除了可用泰勒展开式表示外，还可以写成下面的形式证明:(4－10)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（7）0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyAAAA()()()()()()()()()()()()(4－11)式(4-11)和式（4－6）应当完全等价，下面证明：电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（8）0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyAAAA()()()()()()()()()()()()(4－11)首先，看出(4-11)中第一项，根据（4－2），就是式（4－6）第一项12012snxxxxxyyxJxHx()(4－6)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（9）0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyAAAA()()()()()()()()()()()()(4－11)其次，(4-11)中第二、三项，与式（4－6）第二项完全对应12012snxxxxxyyxJxHx()(4－6)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式第二项因为式（4－6）第二项展开后是向量函数y(x)在x=x(0)处的全微分。0111121222212121212nnnnnnnnnyyyxxxxxxyyyxxxxxxJyyyxxxxxxxxx()而（4－2）式右端变量列向量中任一元素的全微分()()()=ijijijijjiijijxxxxdxxxxxxxxxx电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式第二项（续）于是，根据式（4－2），y(x)在x=x(0)处的全微分也可以表示为：0011110012120000ijijnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxA()()()()()()()()此式即是（4－11）第二、三项和。所以，与（4－6）式第二项相等。得证。电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（10）0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyAAAA()()()()()()()()()()()()(4－11)所以，(4-11)中第四项，必然与式（4－6）第三项相等。根据式（4－2），(4-11)中第四项完全可以写成y(∆x)形式12012snxxxxxyyxJxHx()(4－6)电力系统稳态分析东南大学电气工程系泰勒级数展开式（11）0000111111110000121212120000snnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyAAAA()()()()()()()()()()()()(3－11)(4-11)中第四项完全可以写成y(∆x)形式0syyxJxyx()最终，证明了式（4-9)，构成了算法的突破电力系统稳态分析东南大学电气工程系1.3数值计算迭代公式（1）式(4-9)是一个以∆x作为变量的二次代数方程组，求解满足该式的∆x仍要采用迭代的方法。式(4-9)可改写成∆x＝－J-1[y(x(0))－ys＋y(∆x)]于是算法具体迭代公式为∆x(k+1)＝－J-1[y(x(0))－ys＋y(∆x(k))]式中：k表示迭代次数；J为按x＝x(0)估计而得。(4－12)电力系统稳态分析东南大学电气工程系数值计算迭代公式（2）算法的收敛判据为也可采用相继二次迭代的二阶项之差作为收敛判据(更合理)(1)()maxkkiiixx(1)()max()()kkiiiyxyx电力系统稳态分析东南大学电气工程系保留非线性快速潮流算法框图启动输入原始数据形成节点导纳矩阵赋初值k＝0)1()0()1(kkxxx否形成J因子表0)0(x计算二阶项求解计算支路潮流输出结果停机k=k+1)()(kxy)1(kx?max)()1(kikiixx电力系统稳态分析东南大学电气工程系1.4算法特点及性能估计牛顿法迭代公式()11()[]kkkskkkyxJxyxxxx()()()()(())()(1)010()10(1)[+()]kskkkyyxJxyxxxxx()()()()(())()保留非线性算法(4－13)电力系统稳态分析东南大学电气工程系算法特点及性能估计（续1）保留非线性：恒定雅可比矩阵，只需一次形成，并由三角分解构成因子表∆x(k)是相对于始终不变的初始估计值x(0)的修正量达到收敛所需迭代次数多，收敛特性为直线但总计算速度较快牛顿法：每次重新形成因子表∆x(k)是相对于上一次迭代所得到的迭代点x(k)的修正量电力系统稳态分析东南大学电气工程系牛顿迭代法与保留非线性迭代法迭代比较()()kyx0()()syyx电力系统稳态分析东南大学电气工程系后面对通用迭代格式的分析将说明：B-B1等于f(x(1))=f(x(0)＋∆x(1))(4-14)也就是H(∆x(1)),也是y(∆x(1))C-C1等于f(x(2))=f(x(0)＋∆x(2))H(∆x(2))＝f(x(0)＋∆x(1))＋f(x(0)＋∆x(2))(4-15)＝A1A2+A2A3＝A1A3＝y(∆x(2))电力系统稳态分析东南大学电气工程系设所要求解的非线性代数方程组为f(x)＝0，对f(x)的性质无限制，则它的泰勒级数展开式可写成f(x(0))＋f′(x(0))∆x＋H(∆x)=0式中：H(∆x)为泰勒展开式非线性总项。迭代公式：－f′(x(0))∆x(k+1)=f(x(0))