高等代数综合题

1.求19191111220=1220d的末尾的零的个数.2.求111111111111111=1111111111d的展开式的正项总数.3.计算12+1+11+2+2+1+312311=11nnnnnnd的值（2n），其中是=1nx的任一根.4.设12,,,,,nabppp均为实数，且ab.令12nfxpxpxpx.证明：123npaaabpaabfaafbbbpababbbp.5.计算211122222111111=111nnnnnnxxxxxxdxxx.6.用矩阵给出平面上n个点,,1,2,,iiiPxyin共线的充要条件.7.证明：中国象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才能跳回原处.8.（李政道问题）一堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了把苹果分成5堆，还多一个，扔了，自己拿走一堆；第二只猴子来了，又把苹果分成5堆，又多一个，扔了，自己拿走一堆.以后每只猴子来了都如此操作.问原来至少有多少苹果，最后至少有多少个苹果？9.设A是一个秩为r的mn矩阵.任取A的r个线性无关的行向量，再取A的r个线性无关的列向量，组成的r阶子式是否一定不为零？如果是，证明之.10.设,AB是两个mn矩阵，且齐次线性方程组0AX与0BX同解.问,AB的列向量组是否等价，行向量组是否等价？11.设nnijAaR.证明（1）若,1,2,,iiijjiaain，则det0A；（2）若,1,2,,iiijjiaain，则det0A.12.设nnijAaR，其每列恰有两个非零元素，且所有对角线元素都大于1，所有非对角线元素都0,1.问A是否可逆？13.设数域F上的n阶方阵ijAa满足11,,,1,2,,,.1iiijaaijnijn证明A可逆.14.设nnijAaR满足0,0,,1,2,,,,iiijaaijnij10,nijja1,i2,,n.证明：1rankAn.15.证明：对任意方阵A，必存在正整数m，使1mmrankArankA.16.设F是一个数域，,,,,nmnsmtstAFBFCFDF满足,rankBs0ACBD.证明：CranktD的充要条件是rankCt.17.设A为一个n阶方阵.证明：对任何满足rankAkn的k，存在n阶方阵B，使rankArankBrankABk.18.设F是一个数域，,snnmAFBF.证明Sylverster公式：rankArankBnrankAB.19.设,,ABC是使ABC有意义的三个矩阵.证明：rankABrankBCrankBrankABC.20.设x为1n矩阵，y为1n矩阵，a为实数.证明：det=1Eaxyayx，其中E为单位矩阵.21.求二次型1211112112221222120,,,nnnnnnnnnxxxxaaafxxxxaaaxaaa的矩阵.22.设实二次型222123122313222fxxxxxxxxx经正交变换XPY化成22232fyy，求,.23.设实二次型122313222fxxxxxx.求f在2221231xxx时的最大值与最小值.24.如果TfXAX是一个实二次型，12,,,n是A的特征值，且12n，则nxR，有1TTTnXXXAXXX及10infnTTXXRXAXXX，0supnTnTXXRXAXXX.25.设2111nniiniiifaxbxx，其中,ab为实数.问,ab满足什么条件时，f正定.26.设A是一个n阶实可逆方阵.证明：存在正定矩阵S和正交矩阵Q，使AQS.27.设ijAa为一个n阶正定矩阵.证明：（1）,,,1,2,,ijiijjijaaaijn；（2）A的绝对值最大的元素必在其主对角线上.28.设2n，1,2,,ifxi=n均为次数不超过2n的多项式，1,2,,iai=n为任意数.证明：1121112222120nnnnnnfafafafafafa=fafafa，并举例说明1,2,,ifxi=n均为次数不超过2n的多项式的条件不可缺少.29.设,ab为自然数，p为不小于3的素数，22cossinipp为p次单位根.证明：21pppababababab.30.设51021532042501234fxxfxxfxxfxxfx被4321xxxx整除.证明：ifx被1x整除，0,1,,4i.31.设fx为整系数多项式，且0,1ff都是奇数.证明：fx无整数根.32.设fx是有理数域Q上的一个0mm次多项式，n是大于m的正整数.证明：2n不是fx的实根.33.设12,,,naaa是n2n个互不相同的整数.证明：fx11nxaxa不能表示成两个次数大于0的整系数多项式之积.34.求以23为根的有理系数的不可约多项式.35.设fx是有理数域Q上的一个n2n次不可约多项式.若fx有一根的倒数也是fx的根，证明：fx每一根的倒数也是fx的根.36.设123,,xxx为3260xxaxa的三个根.求使33312312+3xxx0的所有a，并对每个这样的a，求相应的123,,xxx.37.求证：实系数三次方程320xaxbxc的三个根的实部均为负数的充要条件是0,0,0acabc.38.设,fxgx是数域F上两个不全为零的多项式.记|,MfxsxgxtxsxtxFx.证明：M中次数最低的首一多项式是fx与gx的最大公因式,fxgx.39.设2PyAyByC，且0Pyy有互异的根,ab.证明：（1）,ab是0PPyy的根，并求它的另外两个根所满足的方程；（2）应用以上结果求方程2223233220yyyyy的所有根.40.证明：若对整系数多项式fx，存在整数k，使|1,|2,,|kfkfkfk，则fx无整数根.41.试确定所有的有理数,,abc，使,,abc是320xaxbxc的根.42.设fx为一多项式，ab.将fx除以2xaxb，求其余项.43.设有理系数多项式fx存在无理根abc（,,abc为有理数，,0bc）.证明abc也是fx的根.44.证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是存在一个有理系数多项式fx，使1=f.45.设k是正整数.求一切实系数多项式01=+nnfxaaxax，使kffxfx.46.设有n个常数12,,,nbbb，n个互异常数12,,,naaa及由111111222111011nnnnnnnxxPxaabaabaab确定的多项式Px.对任一多项式x，定义另一多项式Qx，它为上面恒等式中将12,,,,nPxbbb代之以12,,,,nQxbbb所得恒等式确定.证明：12nxaxaxa除Px所得余式为Qx.47.设,,,ABCD为四个n阶方阵，且ACCA.证明：ABADCBCD.48.设,AB为两个n阶方阵.证明：***ABBA.49.设F是一个数域.证明：nF的任一子空间1V必至少是一个n元齐次线性方程组的解空间.50.50.设nnC是nn复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121100010001000aaaaFnnn.（1）假设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211.若FAAF，证明：EaFaFaFaAnnnn112121111.（2）求nnC的子空间}|{)(XFFXCXFCnn的维数.51.设fx为x的复系数多项式，且n阶复方阵A的特征值都不是fx的零点.证明fA可逆，且fA的逆可表为A的多项式.52.设12,,,kAAA是k个n阶实对称方阵，1kn，且12kAAAE（E为单位矩阵）.证明下述二条件等价：（1）12,,,kAAA都是幂等矩阵；（2）12krankArankArankAn.53.证明数域F上的n阶方阵A满足2AA的充要条件是rankArankEAn（其中E为单位矩阵）.54.设1122kkEEDE，其中12,,,k为互异的数，1,2,,iEik为适当阶的单位矩阵.证明：凡与D相乘可交换的矩阵必为且仅为12kCCXC的形状，其中iC为与iE同阶的矩阵，1,2,,ik.并进一步证明：当且仅当两个实对称矩阵,AB可交换时，可找到同一个正交矩阵Q，使1QAQ和1QBQ同时为对角形.55.设A是一个n阶实可逆方阵.证明：存在n阶正交矩阵,PQ，使12naaPAQa，其中每个0ia，且22212,,,naaa为TAA的全部特征值.56.设A是一个n阶方阵.证明：A可分解为ADM，其中D相似于对角形，M为幂零矩阵，即存在正整数m使0mM，且DMMD.57.设A是一个秩为r的mn矩阵.证明：存在m阶正定矩阵P和n阶正交矩阵Q，使000TDAPQ，其中D为一个秩为r且对角线元素都大于零的对角形矩阵.58.设V是数域F上的一个n维线性空间.证明：V的任意一个线性变换必可表为一个可逆线性变换与一个幂等变换的乘积.59.设,AB为两个n阶正定矩阵.证明：ABAB.60.设是数域F上的n维线性空间V的一个线性变换.证明：秩秩2的充要条件是10VV.61.设是数域F上的n维线性空间V的一个线性变换，,fxgxFx，hxfxgx.证明：若,1fxgx,则kerkerkerhfg.62.设是数域F上的线性空间V的一个线性变换，12,,,k是的互不相同的特征值，12,,,k是相对应的特征向量.如果W是V的一个子空间，且12kW，求证dimWk.63.设f是从n阶复方阵所成线性空间到复数域的一个线性映射，且对一切n阶复方阵,AB有fABfBA.证明：存在复数a，使对任何n阶复方阵ijGg，有1njjjfGagatrG.64.求矩阵1231211122341nnnBnnn的特征值.65.已知10niia.求2112122122212111111111nnnnnaaaaaaaaaaAaaaaa的特征值.66.设,AB是两个nn矩阵，CABBA，且C与,AB可交换.证明：存在正整数m使0mC.67.设12,,,naaa均为实数.证明：2112122122212nnnnnaxaaaaaaaxaaaaaaax被1nx整除，并求其它因子.68.设,AB分别为m阶和n阶方阵，=