Reynolds方程

•1第二章Reynolds方程主要内容§2-1基本概念§2-2Navier-Stokes方程§2-3Reynolds方程§2-4润滑膜压力形成机理§2-5Reynolds方程应用和简化§2-6边界条件第二章Reynolds方程•2§2-1基本概念1.真实流体和理想流体AhUFZXOu第二章Reynolds方程差异：切应力的存在和固壁上的无滑移构成了真实流体和理想流体的本质差别。也就是说，理想流体是完全忽略了粘性的存在。2.粘度与粘性dudzτη=()zuzuh=⋅uhτ∞dudhτη=§2-1基本概念3.偏应力和剪应力第二章Reynolds方程xxmσσσ′=−1()3mxyiσσσσ=++000000mmmσσσ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭¾球形应力张量注意:在流体力学中,具有很大的作用,是一个不可忽视的因素，关键不是在于它对流动的影响，而是表示油膜承受压力的能力等等。因此，取一个专用符号-p来代替。mσ(1)偏应力⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧′′′xyzxzyzyxyxzxyxστττστττσ¾偏应力张量•3§2-1基本概念3.偏应力和剪应力第二章Reynolds方程(2)剪应力xyyxττ=yzzyττ=xzzxττ=单元体面上所受单位摩擦力在坐标轴上的投影σxσzτzyτzxτyxτyzτxyτxzσxσyσyτyxτyzτzyτzxτxyτxyσzoyzx§2-2Navier-Stokes方程问题：？第二章Reynolds方程解题思路：已知：几何和力学边界条件求：力及速度分布平衡方程物理方程边界条件（几何＋力）uhu0zuhu0xh•4§2-2Navier-Stokes方程1.平衡方程(运动方程)第二章Reynolds方程xyxxzduXxyzdt∂τ∂σ∂τρ∂∂∂+++=yxyyzdvYxyzdt∂τ∂σ∂τρ∂∂∂+++=zyzxzdwZxyzdt∂τ∂τ∂σρ∂∂∂+++=σxσzτzyτzxτyxτyzτxyτxzσxσyσyτyxτyzτzyτzxτxyτxyσzoyzx§2-2Navier-Stokes方程2.本构方程（物理方程）第二章Reynolds方程xyyxyzzyxzzxvuxywvyzwuxz∂∂ττμ∂∂∂∂ττμ∂∂∂∂ττμ∂∂⎧⎛⎞==+⎪⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪==+⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪==+⎜⎟⎝⎠⎪⎩222xyzudivxvdivywdivz∂σλωμ∂∂σλωμ∂∂σλωμ∂⎧′=+⎪⎪⎪′=+⎨⎪⎪′=+⎪⎩,uvwdivxyz∂∂∂ω∂∂∂=++2,3λμμη=−=根据Stokes假说•5§2-2Navier-Stokes方程3.Navier-Stokes方程第二章Reynolds方程xyxxzduXxyzdt∂τ∂σ∂τρ∂∂∂+++='xxmxpσσσσ′=+=−本构方程xyxxzpduXxxyzdt∂τ∂σ∂τ∂ρ∂∂∂∂′−+++=22()()()()33dupuvuwvuuwXdtxxxyxxzyxyzzx∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρμμμμ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+−+−++++§2-2Navier-Stokes方程3.Navier-Stokes方程第二章Reynolds方程22()()()()3322()()()()33dupuvuwvuuwXdtxxxyxxzyxyzzxdvpvuvwvuvwYdtyyyxxyzxxyzzy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρμμμμ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρμμμμ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+−+−++++=−+−+−++++22()()()()33dwpwuwvwuuwZdtzzzxxzyxxzyzy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρμμμμ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+−+−++++X,Y,Z为体积力AhUFZXOu•6§2-2Navier-Stokes方程4.连续性方程,质量守恒第二章Reynolds方程()()()0uvwtxyz∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ∂∂∂∂+++=存在的条件是无内源产生§2-3Reynolds方程基础第二章Reynolds方程NavierStokes,(,)()()(),0()uvwtxyz∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ∂∂∂∂−⎧⎪⎨+++=⎪⎩方程平衡方程运动方程质量连续方程无源、汇•7§2-3Reynolds方程第二章Reynolds方程假设1.忽略体积力的作用。,uuuzxy∂∂∂∂∂∂2.忽略惯性力的作用。3.流体在界面上无滑动。4.与油膜厚度相比，轴承表面的曲率半径很大，忽略曲率影响，并以平移速度代替转动速度，这样就可用直角坐标。0pz∂∂=5.沿膜厚方向，忽略压力变化。6.假定为层流。7.由于z很小,而u,v是主要速度分量,所以它们与其它速度梯度相比很大,所以可以忽略其它速度梯度。uvzz∂∂∂∂和§2-3Reynolds方程①②式根据假设(1)(2)(4)(7)取得③式根据假设(1)(2)(4)(5)取得第二章Reynolds方程()()0puxzzpvyzzpz∂∂∂η∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩－－－①－－－③－－－②4.以平移速度代替转动速度，这样就可用直角坐标。1.忽略体积力的作用。2.忽略惯性力的作用。7.,uuuzxy∂∂∂∂∂∂uhu0zuhu0xh22()()()()33dupuvuwvuuwXdtxxxyxxzyxyzzx∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρμμμμ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+−+−++++•8§2-3Reynolds方程①②式根据假设(1)(2)(4)(7)取得③式根据假设(1)(2)(4)(5)取得第二章Reynolds方程()()0puxzzpvyzzpz∂∂∂η∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩－－－①－－－③－－－②①式p与z无关1upzczx∂∂η∂∂=+21212puzczcx∂η∂=++η与z无关pudzcxz∂∂η∂∂=+∫§2-3Reynolds方程第二章Reynolds方程21212puzczcx∂η∂=++0z=0uu=zh=huu=边界条件20cuη=21001()()22hnhphpcuuuuxhhx∂η∂ηη∂∂=−−=−−2001()22hphpzuzzuuuxxh∂∂η∂η∂=−+−+2002001()()21()()2hhpzuzhzuuuxhpzvzhzvvvyh∂η∂∂η∂⎧=−+−+⎪⎪⎨⎪=−+−+⎪⎩同理推导中虽未假设是牛顿流体，但假设(7)中忽略其它项，则本构关系中的剪应力变为牛顿流体形式。uhu0zuh-u0uhu0xu0h第一项第二项第三项•9§2-3Reynolds方程第二章Reynolds方程000()()()0hhhudzvdzwdzxyz∂∂∂ρρρ∂∂∂++=∫∫∫连续方程两边对z积分3300()()()()121222hhhuuhvvhhphphuxxyyxyxρρ∂ρ∂∂ρ∂∂∂∂ρ∂η∂∂η∂∂∂∂+++=+−0()hhhvwwy∂ρρ∂−+−一般形式雷诺方程()()()0uvwtxyz∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ∂∂∂∂+++=§2-3Reynolds方程第二章Reynolds方程00()hhhhudzudzuxxx∂∂∂ρρρ∂∂∂=−∫∫()()()()()()(,)(,)[(),][(),]btbtatatddbtdatfxtdxfxtdxfbttfattdttdtdt∂∂=+−∫∫2000()=[()]2hhhuuphzhzzudzuxxhxρ∂ρ∂∂ρρ∂η∂∂−−++−∫22200000=[[]()2322hhhhhpzhzhuuzuzuxxhx∂ρ∂ρ∂ρρ∂η∂∂−+−+−300()()[]122hhhuuhphuhuxxxxρ∂ρ∂∂∂ρρ∂η∂∂∂−=−++−30()[()]122hhhphhuuuxxxx∂ρ∂∂ρ∂ρ∂η∂∂∂=−++−•10§2-3Reynolds方程第二章Reynolds方程300()()()122hhhhvvhphvdzvyyyyyρ∂∂ρ∂∂∂ρρ∂∂η∂∂∂+=−+−∫(000()()hhhwdz∂ρρρ∂==−∫同理000()()()0hhhudzvdzwdzxyz∂∂∂ρρρ∂∂∂++=∫∫∫3300()()()()121222hhhuuhvvhhphphuxxyyxyxρρ∂ρ∂∂ρ∂∂∂∂ρ∂η∂∂η∂∂∂∂+++=+−0()hhhvwwy∂ρρ∂−+−一般形式雷诺方程300()()[()]122hhhhphhuuuuxxxxx∂ρ∂∂ρ∂ρρ∂η∂∂∂∂=−++−∂∫§2-4润滑膜压力形成机理第二章Reynolds方程0006[()()()2()]hhhhhuuvvhUVwwxyxy∂∂∂∂ρρρρρ∂∂∂∂=−+−+++−UVhhxy∂∂ρρ∂∂+UhVhxy∂ρ∂ρ∂∂+动压效应项u0-uhp挤压效应p右式伸缩效应p表面速度沿流动方向降低→压力↑变密度效应pρ↓→体积↑→压力↑•11§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程00,,,,,hhuuvvηρ(,)hxy(,)Wpxydxdy=∫∫0,0,hzhFdxdyτ==±∫∫压力分布(,)Pxy载荷摩擦力0[()]2hhhpFuudxdyxh∂η∂=−+−∫∫00()]2hhpFuudxdyxh∂η∂=−+−∫∫§2-5-1特性计算流量xxQqdy=∫yyQqdx=∫0hxqudz=∫0hyqvdz=∫)()2(21])()(21[0002uuhhzxpuhzuuhzzxpzzuhh−+−=+−+−==η∂∂∂∂η∂∂η∂∂ητ§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程§2-5-2Reynolds简化0,0Uvx∂∂==330()()6[22()]hkhphphUhuwwxxyyxx∂ρ∂∂ρ∂∂∂ρρρ∂η∂∂η∂∂∂+=−+−cρ=cη=330()()6()hpphhhuuxxyyx∂∂∂∂∂η∂∂∂∂∂+=−330()()6[()hhphphuuxxyyx∂∂∂∂∂∂η∂∂η∂∂+=−00hww−=•12§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程0py∂∂=0dpdx=设：，hh=30()6()hdpdhhuudxxdx∂η∂=−306()hdphuuhcdxη∴=−+06()hcuuhη=−−036()hdphhuudxhη−=−无限长近似3LBu0-uhxyzBL§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程无限短近似1()3LB0px∂∂≈30()6()hddpdhhuudydydxη∴=−,02Lyp=±=0,0dpydy==边界条件3016()hdpdhhuuycdydxη∴=−⋅+201233()hydhpuucychdxη∴=−++220313()4hdhLpuuyhdxη⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠u0-uhxyzBL•13§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程§2-5-3边界条件u0-uhhmaxhmaxhminpSommerfeld条件半Sommerfeld条件Reynolds条件§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程Sommerfeld条件()(2),(0)()ppppθπθπ=+=→昀小间隙昀大间隙优点:数字上简单、油膜连续（易给出边界条件）周向压力分布是反对称的周期性连续函数缺点：忽视了油膜在发散区，在足够大负压下发生油膜气空与破裂现象，与实际工况不符。u0-uhhmaxhmaxhminpSommerfeld条件•14§2-5Reynolds方程应用和简化第二章Reynolds方程((02()()0ppθθππθθ==−==规定在发散区压力全部为零优点:①数字处理上简单;②较接近于实际。发散区→昀小膜厚处0px∂∂≠收敛区→昀小膜厚处0px∂=∂()()20012hpzuzzhuuuxhη∂=−+−+∂半Sommerfeld条件u0-uhhmaxhmaxhmi