8-1-1-交通流参数的二项分布

第八章交通流理论第一节交通流参数的统计分布一、分析交通流参数分布的作用二、交通参数及其分布三、离散型分布的基础四、交通参数的二项分布本节需要掌握：一、概念：二、规律：二项分布的应用：三个推论：方差与均值之比；最有可能发生的次数；假设检验。1_交通流统计分布的作用2_交通参数及其分布3_离散型分布4_二项分布一、分析交通流参数分布的作用•在建设或改善交通设施、确定新的交通管理方案时，需要预测交通流特性：①规划道路时，需预测未来交通量，第30小时交通量；②信号灯配时设计时，需预测到达的车辆数，到达率、排队论；③设计行人设施时，需预测行人可以穿越的车头时距频率，到达率；④规划公交线路时，需预测未来乘客流量、到达率。（二）交通参数的变化：•人们的出行总是有目的的，出行的现象背后是一定的生活规律，当影响出行的其它因素不变时，交通量表现出一定的稳定性，其规律服从随机变量的分布规律。•以某一道路截面的行人或车辆的到达、行为为例，这些行为具有随机性。二、交通参数及其分布（一）交通参数：判断时间、停车视距；交通量、速度、密度；车头间距、车头时距；车辆空间占有率、车辆时间占有率等。（三）交通参数的分布：1、离散型分布：–服从离散型分布的交通参数：•交通量，描述“单位时间内到达的车辆数”；•交通密度，描述“单位路段上分布的车辆数”。–常用的离散型分布：•二项分布、负二项分布和泊松分布。2、连续型分布:–服从连续型分布的交通参数：•车头时距，描述“相邻两辆车到达特定道路截面的时间间隔”。–常用的离散型分布：•负指数分布。(四)交通参数的离散型分布：（1）二项分布•适用条件：车流密度较大，车流较拥挤的情况。（2）负二项分布•适用条件：车流变化大，调查时间包含了高峰合平峰车流的情况；或统计单位时间短，交通量变化范围大的情况。（3）泊松分布•适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，车流自由度较大的情况。（4）交通流参数分布的简单检验:根据观测样本计算：•观测样本分布服从二项分布；•观测样本分布服从负二项分布；•观测样本分布服从泊松分布。，xs时当1/__2，xs时当1/__2，xs时当1/__22__sx和方差平均值三、离散型随机变量的复习1、离散型随机变量的概率分布(1,2,),,{},{},1,2,..kkkkxkxPxpk设离散型随机变量所有可能取的值为取各个可能值的概率即事件的概率为概称此式率分布为离散型随机变量的(律)(列）说明;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp数据来源：1）概率论-西北工业大学；2）线性代数与概率统计-北京师范大学珠海分校；3）概率论-石家庄经济学院；4）概率统计-江西科技学院。离散型随机变量的概率分布也可表示为：1212~nnxxxpppkpnxxx21nppp21或：简称分布列。(){}()kkxxFxPxpx分布函数分布列{}kkpPx离散型随机变量的分布函数：离散型随机变量分布列与分布函数的关系：(){}().iikkxxxxFxPxpPx,12.,(),.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯每组信号灯以的概率允许或禁止汽车通过以表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组数设各组信号灯的工作是相互独立的求的分布列解,通过的概率为每组信号灯禁止汽车设p则有kp43210ppp)1(pp2)1(pp3)1(4)1(p例1代入得将21pkp432105.025.0125.00625.00625.02、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量只可能取0与1两个值,它的概率分布为(1)两点分布(伯努利分布）1{},0,1kkkpPkpqkkp0p11p则称服从(0-1)分布或两点分布.记为~b(1,p)Bernoullidistribution0-1分布的实例“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量服从(0-1)分布.,1(),0,当正面.当反面kp012121其分布律为两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等，都属于两点分布。说明重复n次观测随机变量的取值，若各次观测的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的，或称为n次重复独立试验。1)重复独立试验(2)二项分布binomialdistribution2)n重伯努利试验设随机变量只可能取0与1两个值,它的概率分布为1{},0,1kkkpPkpqk重复n次观测随机变量的取值，若各次观测的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次重复试验是相互独立的，称为n次重复独立试验，或n重伯努利实验。实例抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.3)二项概率公式,nA若表示重伯努利试验中事件发生的次数则所有可能取的值为.,,2,1,0n(0),kkn当时.次次试验中发生了在即knA次kAAA,次knAAA次1kAAAAA次1knAAA次的方式共有次试验中发生在得knA,种kn且两两互不相容.1011nnknknkknnnpqpqpqpk称这样的分布为二项分布，记为：其计算公式也表示为：~(,,).Bknp次的概率为次试验中发生在因此knAknkppkn)1(pq1记knkqpkn得的分布律为二项分布1n两点分布nkppPknkknk,,2,1,)1(C二项分布的图形例2在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布.5)4.0(44.06.015324.06.025234.06.0354.06.045456.0Xkp012345：cnkkn则击中目标的次数为令,.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为)..,(~020400BX则的分布律为X,)98.0()02.0(400}{400kkkkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例34)二项分布的递推公式})!1()!1(!/{})!(!!{11knkknkqpknknqpknkn1111knkknknkknkkqpCqpCPP)}(*/{)1)(1(knppk)}1)(1/{()(**p1kpkknppk则kknkknnnkknkknnnniniinnknknknknknknknkknkkknkknkknkknknkknkkppCkxPkxPkppCkxPkmnpqDDnpqpnpppCnpppknknnppppknknnppknknkppkCxEMPppkknPppknkppknknppknknppCppCPP0i10i110i111k11k)1()1(10k0k1111111)1(1)(1)()1()(;)()1()1()]!1()1[()!1()!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()(21111)1()!1()!1(!)1()!(!!)1()1(1辆车的概率：到达数大于辆车的概率：到达数小于列概率值：为已知时，还可计算下当，同理可求、均值和方差则、递推公式5）二项分布的均值与方差：观测一组数据时，可用观测的样本均值和样本方差估计总体均值和方差：对观测数据，若适合用二项分布拟合观测数据。)/(,/12__2____2sxxnxs，p解得NiiNiixxNsxNx，12__21__)(11,1式中npqsnpx2__,6）用观测值去估计二项分布的总体均值与方差：，xs时当1/__27）二项分布的图形概率会随着k的增加先递增，再递减，并在某处达到最大。(;,)(1)(1)1,(1,,)bknpnkpnpkbknpkqkq由于因此，当k(n+1)p时，b(k;n,p)单增，当k(n+1)p时，b(k;n,p)单减，而当k=(n+1)p时，b(k;n,p)最大。但由于取整的缘故，m=[(n+1)p],称m为二项分布最可能成功次数.例4设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发子弹中打中飞机的最大可能次数是多少，其概率为多少？显然，最大可能次数为5,经计算概率为0.1764。离散型随机变量的分布二项分布两点分布1n(1)两点分布(2)二项分布小结JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBasel,SwitzerlandDied:16Aug1705inBasel,Switzerland伯努利资料四、交通参数的二项分布•式中：——在计数间隔内到达辆车的概率；—平均到达率(辆／s)；—每个计数间隔持续的时间(s)；•若令，则二项分布可写成•称为二项分布的参数。nkttPknkknk,......3,2,1,)1()(CkPtk))!(!/(!knknCkntppknkknkppP)1(Ct，1p0p/保持让有教材上设n，tp。到达概率为整个观测期间的平均取p当p为已知时，还可计算得：到达数小于k辆车的概率：到达数大于k辆车的概率：10i)1()(kknkknnppCkxPkknkknnnppCkxPkxP0i)1(1)(1)(例5：据统计某交叉口有25%的行人违章，交警随机拦住5人，问其中2人违章的概率是？解：由题意知行人违章的概率p=0.25，交警随机拦住5人，n=5，其中2人违章的概率：26.0)25.01(25.03225cp解：设1000辆车通过，出事故的次数为X，则：所求概率为：1000999100010.99990.00010.99991}1{}0{1}2{XPXPXP),.,(~000101000BX例6有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？•[例7]在某段公路上，观测到达车辆数，以5min为计数间隔，观测了24小时的交通量，观测结果如下表，试求5min内到达车辆数的分布并检验。序号到达车数观测频数10321332304341546165697646序号到达车数观测频数87319861095111021211001020304050607001234567891011次辆到达车辆数-到达频次•解：根据表中数据，可作出虚线散点图:297120iif：N观测频数•解：根据表中数据，可知：650.42971381x120i120i___iiiffx：样本均值161.3296582.9351*)x(120i2___2Nfx：Sii样本方差680.0650.4161.3x___2S：样本期望与方差比值小于1∴认为可以用二项分布拟合此车流的到达流量分布。