高等数学课件1-9

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算法则二、反函数的连续性法则三、复合函数的连续性法则四、初等函数的连续性法则1/14一、连续函数的四则运算法则定理1（函数在一点处连续性的四则运算法则）处连续。在时当、　、处连续，则在、若000)0)(()()()()()()()()(xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf推论（区间上连续函数的四则运算法则）注单侧连续函数也有与定理1相应的四则运算法则。上连续。在时上在当、、则上连续，在区间、若IIxgxgxfxgxfxgxfIxgxf))(()()()()()()()()(恒不为02/14例1内（处处）连续，，在、)(cossinxx连续。在其定义域内（处处）、、、xxxxcscseccottan内连续。三角函数均在其定义域3/14例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:)()(xgxf)()(xgxf根据连续函数运算法则,可知也在上连续.二、反函数的连续性法则定理2（严格）单调的连续函数必有(严格)单调的连续反函数.例2连续，三角函数在其定义域内.上其反函数连续在三角函数的最大单调子区间连续。反三角函数在定义域上4/14*例3试证:在定义域上连续。)1,0(aaax证:(1)先证在x=0连续。1，时当y.1,101][1yyaaa则若lim0xxa1lim1nan又1lim1yay1lim0xxaxxalim0xttta1lim01001limaaxx连续。在0xax;1,1][11yyaaa则若(2)再证，在x处连续。)(lim0xxxxaa)1(lim0xxxaa0上连续。域从而在定义处连续，在任意点),(xax证毕指数函数在定义域上连续。xy1.lim1yay对数函数在定义域上连续。5/14三、复合函数的连续性法则定理3)].(lim[)()]([lim,)(,)(limtfaftfaufattttt则有连续在而的某个变化过程，有若对意义极限符号可与连续函数符号交换先后顺序，即极限运算可以穿过连续函数符号。6/14例4.0TH311)limsinxx)1limsin(xx)0sin(TH30sin2)limlnxxx)sinlimln(0xxx.01ln7/143）10sin(lim(1))xxx.sinexxx10)1sin(lim注.))((lim)(lim,),,01())((lim)(lim)(00)(limtvtvtvtututu则非有意义若对某变化过程9/14例5求2220lim(2)xxx解224220lim(2)22200lim(2)lim(2)xxxxxxx.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而且连续在点设xxxfyuuufyuxxxxu定理4由定理4知：f(g(x))的不连续点只可能是g(x)的不连续点及f(u)的不连续点u在g(x)下的原象。简言之，连续函数的复合函数还是连续的.四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在定义域★)1,0(logaaxya对数函数;),0(内单调且连续在定义域★xyxaalogy=x()在定义域内连续.xy.),0(内连续在10/14定理5基本初等函数在定义域内连续.定理6一切初等函数都在其定义区间上连续.1.初等函数在其定义域内不一定连续.注意例如,,1cos)(xxfy对},4,2,0{fD有处处不连续)(xfy在定义域上不连续。)(xfy11/14利用初等函数的连续性求极限的方法（代入法）：若初等函数f(x)在x0及邻近（或左邻近，或右邻近）有定义，则)()(lim00xfxfxx例493-)12xx，是初等函数)(33)3(，，定义域是93-lim20xxx903-02;3393-lim)223xxx3x31lim3xx连续.6133112/14),()((00xfxf-或))()(00xfxf或五、小结1)连续函数的和、差、积、商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.注意：定义区间与定义域的区别.反函数的连续性.2)求极限的两种新方法：极限运算可以穿过连续函数符号；利用初等函数的连续性求函数在一点处的极限。思考题设xxfsgn)(，21)(xxg，试研究复合函数)]([xgf与)]([xfg的连续性.14/14解))((,1)(,sgn)(2xfgxxgxxf则2)(sgn1x0,10,2xx))((xgf1)1sgn(2x处处连续（由此看到，不连续的函数复合之后可能连续）.2)1(g.2)1(g故x=0是可去间断点。))(lim())((lim00xfgxfgxx))(lim())((lim00xfgxfgxx