高等数学课件1-6

第六节极限存在准则两个重要极限1.极限存在准则2.两个重要极限1/17准则1(夹逼准则)如果对自变量t的某个变化过程，f(t)、g(t)和h(t)满足下列条件:,)(lim)(lim)()()()(Athtgthtftg有，对此过程(2)；从某时刻起(1)那末Atf)(lim.证（略）注：准则1（夹逼准则）对A=也成立。一、极限存在准则2/17数列极限的夹逼准则,,,,limlim00nnnnnnnbcaNnNaba有且.limacnn则证,limlim,0abannnn由,,,11naaNnN有,,,22abNnNn有有则当取,},,,max{210NnNNNNnnnbcaa,a.||acn从而.limacnn即例1).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn注：1)求n项和的数列极限时常用夹逼准则。2)使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。3/17nnnnbnnnnnbannbana!)1()1(!2)1(!1221nnnnnnnnnnnnbaCbaCbaCbaCba2221100)(解：02nlimn又例2求nnnlim,1nngn令.0ng则nnknknnnnnnnggCgCgCgn2211)1(由2222111nnng)n(ngC02112ng)n(nn022ngn02nnglim0nnglim4/17.1limnnn例3求0)(aalimnn解：a时，当1(1))(1时由annann再由夹逼定理及例2得nnalim11aa时，当10(2)a，有1111nnnnalimalim11nnalim.1.1.01lim）（aann例4求nnn!nlim解：由夹逼定理得nnnnn!nn210n101nlimn且.0nnn!nlim*例5计算下列极限：]1[lim)1(0xxxxx][lim)2(x解xxx][1-)1(时，当0x.1]1[-1xxx1.]1[lim0xxx由迫敛性，得,1]1[10xxxx时，当1.]1[lim0xxx由迫敛性，得1.]1[lim0xxx综上xxx1]1[1-1xxx][lim)2(tttx1]1[lim0t1令]1[lim0ttt1.AC第一个重要极限1sinlim0xxx)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆于是由xoBD,AOC，得作单位圆的切线,tan21xAOC的面积证：)00(型xAOBsin21的面积xOBA21的面积扇形,cossintansinxxxxx得,1sincosxxx即.x也成立此式对于02时成立。从而当20x,xcoslimx10又.1sinlim0xxx证毕。6/17例5.cos1lim20xxx求2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx.21解注：在求与三角函数比有关的极限时常用到此极限。例6求)n(m,nmtanlim0Zxxx解nmtanlim0xxxnm/cosmsinlim0xxxxxxxxxcoslim/nmsinlim00xxxxxcoslim/mmsinlimnm00。nm)00(型)00(型)00(型7/17例7求arcsinlim0xxx解sinlim0yyyarcsinlim0xxx.1xysinarc例8求解2sin2lim1nnnx原式,0时当x原式0limn.2x,0时当x)2/2sinlim2nnnxxx(;0).(22sin2lim1xxxnnn)00(型)0(型008/17定义：满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列,,81,41,21;,21n单调减少,,8,4,2;,2n单调增加如：x1x2x3x1nxnx几何解释:AM注1:此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。定理9（单调有界准则）在实数系中，单调有界的数列必有极限.注2：由于数列极限与数列中的有限项无关，因此定理9可以叙述为：在实数系中，数列自某项之后单调有界，则必有极限.例9.lim3,311nnnnxxxx的极限存在并求证明数列证,1nnxx易知;是单调递增的nx,331x又3kx假定kkxx3133;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx,n令,32AA得.2131A解得由xn0A0,.2131limnnx.limAxnn记10/173*例10证明：存在。)n1(1limnnnnnx)11(设21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnnnnnnnn1!)1()1(证：)(2221100nnnnnnnnnnnnbaCbaCbaCbaCbannnnbnnnnnbannbana!)1()1(!2)1(!1221).11()121)(111()!1(1)111()121)(111(!1)111(!21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx显然;是单调递增的nx!1!2111n1212111n,3;是有界的nx.lim存在nnxennn)11(lim记为2112111n).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnxn)211(2n1n!2n-1exxx)11(lim第二个重要极限)(1型1lim(1)nnen1lim(1)xxex11/17用夹逼准则可以证明：1lim(1).xxex及exxx)11(lim1lim(1)xxex由1101lim(1)lim(1)xttxxtxtexxx10)1(lim.eexxx)11(lim12/17有：故：注：常用此极限求幂指型函数的极限。例11.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e例12.)23(lim2xxxx求解422)211(])211[(limxxxx原式.2e)(1型)(1型)(1型13/17例13xxx21lim0求解原式xxx1)21(lim0)(1型2021)21(limxxx20))21(lim(21xxx.2e例14xxxcsc0)sin1(lim求)(1型解原式xxxsin10)sin1(limxtsinttt10)1(lim.e14/17例15.求解:原式=2211lim[(sincos)]xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xex2sin1三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.;1sinlim10某过程.)11(lim)1(lim210e某过程某过程为无穷大，则为某过程中的无穷小，设16/17作业习题1-2一、2，4，5，6，7，8二、3，4，6，7三、思考题求极限xxxx193lim17/17思考题解答xxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e.__________3cotlim40xxx、一、填空题:._________sinlim10xxx、.__________3sin2sinlim20xxx、.__________2sinlim5xxx、._________)1(lim610xxx、练习题.__________cotlim30xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2、._________)1(lim72xxxx、._________)11(lim8xxx、xxxxsin2cos1lim10、xxaxax)(lim3、二、求下列各极限:nnnn)11(lim42、5、nnnn1)321(lim三、利用极限存在准则证明数列,......222,22,2的极限存在，并求出该极限.tan242lim(tan)xxx、2211tanlim(t)ttttx121(1)1lim[1(t1)]tttt1e214lim()1nnnn、221lim()(1)nnnn2221lim()(1)nnnn222(1)2lim()(1)nnnnn222lim(1)(1)nnnn22(1)222(1)22lim(1)(1)nnnnnnnn1e1lim(123)nnnn5、1112lim3(1)33nnnnnnn1213lim(1)3nnnn0313一、1、；2、32；3、1；4、31；5、0；6、e；7、2e；8、e1；二、1、2；2、e1；3、ae2；4、1e；5、3.三、2limnxx.练习题答案